DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE FALLA DE …El Comité Europeo de Normalización (CEN) publicó...

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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE FALLA DE PLACAS DE VIDRIO

Heriberto Puga Juárez1, Bertha Alejandra Olmos Navarrete2, José Manuel Jara Guerrero3

RESUMEN

La predicción de falla de placas de vidrio recocido simplemente apoyadas y sometidas a cargas uniformemente

distribuidas, es uno de los objetivos de los códigos de diseño para estos sistemas propuestos en Estados Unidos,

Canadá y en la Comunidad Europea. Debido a la ausencia de un código reglamentario específico para este tipo de

sistemas en la República Mexicana, en este estudio se desarrolla un Modelo de Predicción de Falla para Cortinas de

Vidrio, que se puede implementar, con las ayudas de diseño propuestas, en sistemas de acristalamiento verticales

para fachadas de edificios en México.

ABSTRACT

The failure prediction of simply supported annealed glass plates subjected to uniform loads, is one of the main

purposes in the design codes of the United States, Canada and the European Community. The methodologies and

codes available in the literature are based on concepts and criteria applicable to the glass failure prediction; based on

those studies and proposals, it was developed the failure model prediction for buildings' facades located on the

Mexican Republic. This study presents design aids as an important contribution in this area, given the fact that our

country does not have a specific code for designing structural glass elements.

INTRODUCCIÓN

El vidrio es un material históricamente antiguo con un desarrollo evolutivo importante de sus técnicas de fabricación.

El proceso de vidrio flotado fue la técnica de fabricación más significativa en su historia, inventado en la década de

1950 por Alastair Pilkington. Los productos de vidrio flotado permitieron obtener la calidad requerida para el

desarrollo de su aplicación en la ingeniería. Sin embargo, los trabajos precursores de Griffith de 1920 demostraron

que el vidrio en su superficie era imperfecto por tener micro-fisuras, las cuales representaban la principal causa de su

fragilidad y de la aleatoriedad de su resistencia a la falla. Estos aspectos, por lo tanto, son considerados en las

metodologías con que se cuenta en la actualidad en Norteamérica y en Europa para estimar la resistencia de falla de

placas de vidrio. Entre los métodos Norteamericanos más importantes de diseño estructural de placas de vidrio

sujetas a carga lateral se encuentran las normas: ASTM E 1300-12a y CAN/CGSB 12.20-M89. Los métodos más

sobresalientes de Europa corresponden a: EN 13474 para paneles de vidrio y el Modelo de Predicción de Vida Útil

de Haldimann (2006) para el diseño de elementos estructurales de vidrio con geometría y carga arbitraria. En los

siguientes párrafos se presenta una breve descripción de cada uno de los métodos antes mencionados.

NORMA ASTM E 1300-12a

La norma ASTM E 1300-12a es la base de diseño de paneles de vidrio en los Estados Unidos, la cual presenta un

número extenso de gráficos que permiten determinar el espesor requerido de diferentes tipos de vidrio. Los gráficos

fueron desarrollados bajo los fundamentos teóricos del Modelo de Predicción de Falla de Vidrio (MPFV) propuesto

por Beason en 1980, y bajo la implementación del método de diferencias finitas para estimar los esfuerzos

principales en el plano, así como de trabajos desarrollados desde 1983 por Vallabhan para el cálculo de las

deflexiones que se presentan en el vidrio, considerando un análisis geométrico no lineal. Estos gráficos fueron

creados utilizando como valores de los parámetros de la condición de la superficie del vidrio m = 7, k = 2.8610-53N-

7m12, un módulo de elasticidad de 71.7 GPa y el espesor nominal mínimo del vidrio (Beason, y Morgan, 1998). En la

1 Alumno recién egresado del Posgrado de Ingeniería en el Área Estructural, Universidad Michoacana de San Nicolás de

Hidalgo, Fco. J. Mujica S/N, Ed. C-2 C.U., Morelia, Michoacán, C.P. 58060, México. Tel. (443) 173-3603;

[email protected] 2 Profesor e investigador, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Fco. J. Mujica S/N, Ed. C-2 C.U., Morelia,

Michoacán, C.P. 58060, México. Teléfono (443) 3041002 ext. 107; [email protected] 3 Profesor e investigador, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Fco. J. Mujica S/N, Ed. C-2 C.U., Morelia,

Michoacán, C.P. 58060, México. Teléfono (443) 322 3500 ext 4338; [email protected]

mailto:[email protected]



XIX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2014

Figura 1 se muestra un ejemplo de estos gráficos de diseño. La norma ASTM E 1300-12a trata específicamente la

determinación de la resistencia de carga de los tipos de vidrio correspondientes a vidrio monolítico, vidrio laminado

y a unidades de vidrio aislante para la construcción, de forma rectangular con soporte lateral continuo simple en uno,

dos, tres o cuatro bordes, expuestos a una carga lateral uniforme de 3 segundos de duración, y para una probabilidad

de falla objetivo, Pb= 0.8%. La carga de diseño considerada proviene de acciones como viento, nieve, sismo y el

peso propio del panel de vidrio, o bajo una combinación de éstas siempre y cuando se cumpla que su cálculo no sea

mayor que 15 kPa (0.153 kg/cm2). Por lo tanto, el criterio de diseño es adecuado cuando la carga resistente, LR (load

resistance), para un panel de vidrio es mayor o igual a la acción de diseño o carga lateral uniforme que actúa

perpendicular al plano de la superficie del vidrio, q, como se expresa a continuación:

q LR (1)

Si LR es menor que la carga específica, q, debe adoptarse un espesor o tipo de vidrio necesario hasta que LR sea

igual o mayor a la carga de diseño especificada, q. Dos factores definen a LR, de acuerdo con la siguiente expresión:

LR GTF NFL (2)

donde, GTF (glass type factor), es el factor de tipo de vidrio, el cual considera el tipo de vidrio y el efecto de la

duración de la carga, véase Tabla 1. NFL (non-factored load), es la carga no factorizada para una duración de tres

segundos, la cual se obtiene a partir de los gráficos propuestos como función de la geometría, la configuración del

tipo de apoyo, el espesor nominal mínimo del vidrio y una probabilidad de falla de 0.008, véase Figura 1.

Tabla 1 Factores de tipos de vidrio (GTF) para un único vidrio monolítico o vidrio laminado (norma ASTM E 1300-12a)

Tipo de vidrio GTF

Carga de corta duración (3s) Carga de larga duración (30 días)

Vidrio recocido (ANG) 1.0 0.43

Vidrio semi-templado (HSG) 2.0 1.30

Vidrio templado (FTG) 4.0 3.00

En el caso de que las duraciones de carga difieran de tres segundos, debe multiplicarse el valor de NFL por el factor

de duración de carga, Fd, que resulte de la expresión: Fd = (3 seg/t)1/16 donde, t es la duración de la carga en

segundos.

Figura 1 Gráfico de diseño para determinar el NFL de acuerdo con la norma ASTM E 1300-12a

3


NORMA CAN/CGSB 12.20-M89

La norma canadiense CAN/CGSB 12.20-M89 ofrece un método de diseño estructural para elementos de vidrio

(sodocálcico de sílice) implementados en la construcción; el método es similar al propuesto en la norma ASTM

E1300-12a, sus semejanzas se encuentran al considerar paneles bajo carga lateral uniforme y una probabilidad de

falla igual a 0.8%, pero con la diferencia de que esta norma utiliza una duración de 60 segundos para definir la

resistencia, mientras que la norma estadounidense emplea directamente tres segundos. Otro aspecto importante en el

que coinciden las normas norteamericanas con las canadienses es en su base teórica, puesto que ambos métodos se

fundamentan en el método de MPFV (Beason, 1980). Por lo tanto, la revisión de diseño es mediante el siguiente

criterio:

d dE R (3)

donde: Ed, es igual a la combinación de acciones de diseño, incluyéndose los factores parciales que se define con la

siguiente expresión:

d D L Q TE D L Q T (4)

Rd, es igual a la resistencia de diseño del panel, incluyéndose de igual forma los factores parciales, que se determina

con la expresión:

1 2 3 4d refR R c c c c (5)

donde:

D corresponde a las cargas muertas o peso propio y/o la presión hidrostática invariante.

L corresponde a las cargas vivas por nieve, lluvia, uso u ocupación, y presión hidrostática variable.

Q corresponde a las cargas vivas por viento, sismos y condiciones climáticas.

T corresponde a los efectos por temperatura, excepto los ya incluidos en Q.

αD es un factor parcial de 1.25 para el caso desfavorable, o 0.85 para el caso favorable.

αL y αQ son factores parcial iguales a 1.50.

αT es un factor parcial de 1.25.

γ es el factor de importancia del edificio (de 0.8 a 1).

ψ es el factor de combinación, véase Tabla 2.

c1 es el factor del tipo de vidrio: 1.0 para vidrio plano o vidrio laminado, y 0.5 para vidrio tratado

superficialmente con chorro de arena, grabado o con malla de vidrio.

c2 es el factor de tratamiento térmico: 1.0 para vidrio recocido, 2.0 para vidrio semi-templado y 4.0 para vidrio

templado.

c3 es el coeficiente de duración de carga y se define de acuerdo al tipo de carga y su duración como se expresa

en la Tabla 3.

c4 es el coeficiente de carga compartida que para unidades de vidrio aislante toma valores de 1.0, 1.7 y 2.0,

respectivamente para vidrio monolítico, de doble acristalamiento y triple acristalamiento.

Rref es la resistencia de referencia factorizada de vidrio, donde sus valores son tabulados dentro de la norma. Los

valores de Rref son para una duración de carga de 60 segundos, el espesor mínimo admisible y para una

probabilidad de falla de 0.8%, sus valores también se presentan en gráficas como la que se muestra en la

Figura 2.

Tabla 2 Factor de combinación (ψ) para el efecto más desfavorable (norma CAN/CGSB 12.20-M89)

Casos de combinación de carga L, Q y T: Valor de ψ

En caso de presentarse todas las cargas combinadas 0.6

En caso de dos tipos de cargas combinadas 0.7

En caso de sólo una carga 1.0


Tabla 3 Coeficiente de duración de carga c3 (norma CAN/CGSB 12.20-M89)

Carga Duración aproximada equivalente ANG HSG FTG

Viento y sismo 1 minuto 1.0 1.0 1.0

Sostenida: nieve y encharcamiento De 1 semana a un mes 0.5 0.7 0.9

Permanente: peso propio y presión hidrostática De 1 año a 10 años 0.4 0.6 0.8

Figura 2 Gráfico de diseño para determinar Rref en un vidrio de acuerdo a la norma CAN/CGSB 12.20-M89

NORMA EN 13474

El Comité Europeo de Normalización (CEN) publicó de manera oficial la norma EN 13474-1 (1999), donde se

describe la base general de cálculo para el diseño de los acristalamientos. En su segunda versión, la norma prEN

13474-2(2000) establece un método de diseño para paneles de vidrio. En su tercera versión, la norma que sigue hasta

el momento bajo revisión, norma prEN 13474-3 (2009) da a conocer las propiedades a la resistencia del vidrio,

mediante un método general de cálculo para determinar la resistencia de paneles de vidrio y también la

determinación de la resistencia a la carga del vidrio por medio de pruebas experimentales. Con respecto a esta última

norma, la forma de verificación se hace comparando el esfuerzo máximo calculado para la carga de diseño, σmáx,d,

contra el esfuerzo admisible de diseño fg,d:

máx, ,d g df (6)

El esfuerzo permisible fg,d para vidrio recocido, se obtiene con la siguiente expresión:

mod ,

,

,

sp g k

g d

M A

k k ff

(7)

fg, k es el valor característico de la resistencia a flexión o resistencia inherente (fg,k = 45 N/mm2, valor definido

originalmente en la norma alemana DIN 1249-10:1990) en vidrios de composición de silicato sódico o de

sílice de boro.

ksp es el factor para el perfil de la superficie del vidrio (véase Tabla 4).

γM,A es el factor parcial del material para vidrio recocido, como se muestra en la Tabla 5.

kmod es el factor de la duración de la carga para vidrio recocido y se calcula como:

1

16mod 0.663k t

(8)

5


donde, t es la duración de la carga en horas.

Tabla 4 Factor para el perfil de la superficie del vidrio ksp (prEN 13474-3)

Material vidrio Factor ksp

Vidrio flotado 1.0

Vidrio plano estirado 1.0

vidrio flotado esmaltado o plano estirado 1.0

Vidrio estampado 0.75

Vidrio esmaltado estampado 0.75

Vidrio pulido con malla 0.75

vidrio estampado con malla 0.6

Tabla 5 Factor de duración de carga kmod (prEN 13474-3)

Acción Duración de Carga kmod

Cargas de personas Corta, única (1 minuto) 0.85

Viento Corta, múltiple (5 minuto) 0.74

Nieve Intermedia (1 semana) 0.44

Variación de temperatura diaria de 11 horas de duración pico extrema Intermedia 0.57

Variación de presión barométrica Intermedia 0.50

Variación de la temperatura anual con seis meses de duración del valor extremo medio

Intermedia 0.39

Carga muerta y peso propio Permanente 0.29

Tabla 6 Factor parcial de material (prEN 13474-3)

Tipo Estado límite último de falla Estado límite de servicio

Vidrio recocido γM,A = 1.8 γM,A = 1.0

Vidrio con superficie presforzada γM,v = 1.2 γM,v = 1.0

El esfuerzo permisible fg,d para vidrio presforzado, se obtiene con la siguiente expresión:

, ,mod ,

,

, ,

v b k g ksp g k

g d

M A M v

k f fk k ff

(9)

donde:

γM,v es la resistencia por presfuerzo de la superficie (véase Tabla 6).

fb,k es el valor característico de la resistencia a flexión de vidrio presforzado en la superficie (véase Tabla 7).

fb,k - fg,k es la resistencia a la rotura adicional que aporta un vidrio con superficie comprimida.

kv es el factor de fortalecimiento. Empleado para considerar la eficacia del presforzado, véase Tabla 8.

Tabla 7 Resistencia característica y factores de fortalecimiento de vidrio presforzado fb,k (prEN 13474-3)

Producto de vidrio Valores de resistencia a la flexión característica fb,k para el vidrio presforzado con los procesos de:

Vidrio de seguridad templado

térmicamente

Vidrio termo-endurecido

Vidrio endurecido químicamente

Vidrio flotado o vidrio plano estirado 120 N/mm2 70 N/mm2 150 N/mm2

Vidrio estampado 90 N/mm2 55 N/mm2 150 N/mm2

Vidrio flotado esmaltado o plano estirado 75 N/mm2 45 N/mm2 -

Vidrio esmaltado estampado 75 N/mm2 45 N/mm2 -


Tabla 8 Factor de fortalecimiento kv (prEN 13474-3)

Proceso de fabricación Factor de fortalecimiento, kv

Endurecimiento horizontal (u otro proceso sin el uso de pinzas u otros dispositivos para sostener el vidrio)

1.0

Endurecimiento vertical (u otro proceso utilizando pinzas u otros dispositivos para sujetar el vidrio)

0.6

La norma europea prEN 1374-3, estipula que la demanda está definida por un esfuerzo máximo de flexión de diseño

expresado mediante la ecuación 6 donde al sustituir los parámetros que interfieren se obtiene:

máx,d 1 2 d

Ak F

h (10)

A es el área de la placa, igual al largo por ancho, b a.

h es el espesor de la placa.

k1 es un coeficiente que se estima mediante:

1 0.5

*2

222 *

23 4

1

14

k

p

z z z p

(11)

donde,

1.0731

1.17 1

2z 24 0.0447 0.0803 1 e

(12)

, ba

ab

(13)

2

*

2, es la carga adimensional.

4

dFAp

h E

(14)

2

3

1z 4.5 1 4.5

(15)

4

1z 0.585 0.05 1

(16)

Fd es el valor de diseño de la combinación de acciones y se obtiene como:

Estado límite último

,1 0,1 ,d G Q k Q k i

i

F G Q Q (17)

Estado límite de servicio

1 ,1 2,i ,d k Q k i

i

F G Q Q (18)

G es el valor de las acciones permanentes (peso propio y equipo permanente).

Qk,1 es el valor característico de la acción variable (principalmente viento y nieve).

Qk,i es el valor característico de la acción variable acompañada (viento o nieve).

Ψ0,i son factores de combinación para la acción variable acompañada.

Ψ1 es el factor para valor frecuente de una acción variable.

7


Ψ2,i es el factor para una acción variable cuasi-permanente.

γG es el factor parcial para acciones permanentes.

γQ es el factor parcial para acciones variables.

MODELO DE PREDICCIÓN DE VIDA ÚTIL

Haldimann presentó un modelo suficientemente claro y preciso llamado Modelo de Predicción de Vida Útil

(Lifetime Prediction Model) en el año 2006. Se trata de un método generalizado con la capacidad de aplicarse a

cualquier tipo de elemento estructural de vidrio como: vigas, columnas y placas, sin importar el tamaño, su forma y

condición de carga. Cuando el diseño es gobernado por varias fisuras con localización aleatoria sobre la superficie, el

planteamiento del modelo es de carácter probabilístico, porque además el número y tamaño de fisura es también

aleatorio. A continuación se mencionan las principales hipótesis en que se fundamenta el MPVÚ:

La superficie del vidrio se compone de un número aleatorio de fisuras de profundidad variable.

La profundidad de grieta que tiene un carácter variable, se representa por una función de densidad de

probabilidad de Pareto.

Las fisuras se comportan de manera independiente ante fisuras vecinas.

La orientación y ubicación de cada fisura tienen la misma probabilidad de ocurrencia en toda la superficie

del vidrio, esto quiere decir que se modela con una función de densidad de probabilidad Uniforme.

Se considera que el modo I de falla de la mecánica de la fractura elástica es suficientemente preciso, en

contraste de un comportamiento de falla real multimodal.

La probabilidad de falla se desarrolla únicamente bajo esfuerzos de tensión y no de compresión.

Por lo tanto, el modelo se ha justificado probabilísticamente para predecir la resistencia de un elemento de vidrio con

la siguiente ecuación generalizada:

0

0

12

2n2

n 02

00, 0 0

, , , , 1 2

1

máx

f

m

nnn

ntA

r dr

dAdA U

P t e

(19)

donde:

Pf es la probabilidad de falla para elementos de vidrio.

A0 es la superficie unitaria (1 m2).

A es el área superficial del elemento de vidrio.

t es la variable del tiempo.

KIc es el factor crítico de intensidad del esfuerzo.

Y es el factor de geometría de grieta.

v0 y n son los parámetros de velocidad de grieta.

θ0 y m0 son los parámetros de las condiciones de superficie, determinados experimentalmente.

U es el coeficiente que relaciona la mecánica de la fractura y el crecimiento subcrítico de grieta:

2

2

0

2

2

IcKU

n v Y

(unidades de esfuerzo2 tiempo) (20)

n , ,r es la componente normal de esfuerzos en una grieta de orientación φ, en el punto ,r x y de la

superficie y en el tiempo τ.

La ecuación 19 que determina la probabilidad de falla considera el fenómeno de crecimiento subcrítico de grieta, un

campo de esfuerzos biaxiales no homogéneos que varían en el tiempo, arbitraria geometría y arbitraria historia de


esfuerzos. El MPVÚ se fundamenta en la mecánica de la fractura elástica y en la teoría de probabilidad, que ubica a

la propuesta entre las más avanzadas para la predicación de falla de elementos estructurales de vidrio. Sin embargo,

son muchos los conceptos requeridos o involucrados para su desarrollo, lo cual la convierte en una propuesta

compleja para usarla en el diseño estructural de la práctica profesional. Por lo tanto, es un método muy general que

requiere de un desarrollo práctico para los casos más comunes de diseño elementos estructurales de vidrio.

MODELO DE PREDICCIÓN DE FALLA DE CORTINAS DE VIDRIO

De acuerdo con el análisis de los métodos de predicción de falla más importantes de Norteamérica y de Europa, se

propuso seguir las bases del método general del MPVÚ (Haldimann, 2006, y Haldimann y otros, 2008) para

desarrollar el Modelo de Predicción de Falla de Cortinas de Vidrio para la práctica directa del diseño de placas de

vidrio recocido ante carga lateral uniforme (Puga, 2014). El modelo se presenta mediante gráficos de diseño como

los presentados por la norma ASTM E 1300-12a. Para el desarrollo de esta metodología se consideraron

principalmente los siguientes aspectos:

1. Ensayos de fatiga dinámica en la configuración de prueba coaxiales de doble anillo (CDA) sobre muestras

de vidrio recocido nuevo (sodocálcico de sílice).

2. Estimación analítica del comportamiento de una placa ensayada experimentalmente ante carga lateral

uniforme.

3. Desarrollo de 672 modelos analíticos de elementos finitos de placas de vidrio recocido de diferente relación

de aspecto y espesor nominal sometidos a la acción de una carga uniforme en toda su superficie.

4. Desarrollo de las curvas de fragilidad correspondientes a cada uno de los modelos analíticos.

5. Determinación de la predicción de falla asociada a 0.8%.

6. Creación de gráficas de diseño.

ENSAYOS DE FATIGA DINÁMICA

Se realizaron ensayos de fatiga dinámica en la configuración de prueba coaxial de doble anillo (CDA) sobre muestras

de vidrio recocido nuevo (sodocálcico de sílice) con una área de prueba de tensión de 2042.82 mm2, bajo una tasa de

carga de falla de 79 kN/min y condiciones ambientales de laboratorio. Se estimaron, a través de los esfuerzos de falla

principales, los parámetros de condición ambiental de la superficie del vidrio recocido (m0, θ0), para los cuales se

obtuvieron valores de m0 = 5 y θ0 = 59.78 MPa (Puga, 2014). Se determinó también el módulo de elasticidad con

base en los resultados de estas pruebas, de donde se concluyó que un valor de diseño de 74 GPa es adecuado ante

intensidades de carga de corta duración (ASTM C 1499-05).

COMPORTAMIENTO ANALÍTICO Y EXPERIMENTAL DE UNA PLACA DE VIDRIO

Para la modelación analítica se buscó un programa de cómputo que optimizara el tiempo de trabajo, así como la

eficiencia en el número de casos resueltos y que fuera capaz de desarrollar análisis que consideren los efectos de no

linealidad geométrica. Se eligió el software comercial Ansys 14.5, que es un programa que ofrece múltiples

aplicaciones a las diferentes ramas de la ingeniería (Madenci E. y Guven, 2006). Su base fundamental es el

desarrollo de modelos analíticos mediante el método de elementos finitos, requisito esencial para generar los

resultados de las placas de vidrio propuestas en este trabajo de investigación. A pesar de que el software comercial

tiene muchas aplicaciones para resolver desde problemas simples hasta problemas muy complejos, en nuestro caso

fue necesario implementar únicamente el módulo “Static Structural” del software Ansys 14.5, con el cual se

desarrollaron los análisis estáticos sobre el material isotrópico del vidrio. Otro aspecto importante a considerar, es

que el software Ansys 14.5 es un programa capaz de integrar en los análisis los aspectos de la no linealidad

geométrica (Lee, 2012), los cuales son indispensables para modelar correctamente el comportamiento de placas que

presentan grandes deflexiones, mayores a un tercio de su espesor (Ventsel y Krauthammer, 2001). Este problema

debe ser considerado en placas de vidrio ya que por su relación de aspecto la determinación de la deflexión con la

teoría lineal de placas de Kirchhoff deja de ser precisa, porque no son considerados los aspectos del estrechamiento

9


que se presentan en la zona de la mitad de los bordes y los esfuerzos de membrana. En la Figura 3 se ilustra el

comportamiento de una placa de vidrio mediante la curva carga-deformación para resultados experimentales y los

resultados obtenidos del modelo matemático desarrollo para un comportamiento elástico lineal con los efectos de la

no linealidad geométrica y sin ella (Haldimann y otros, 2008). La Figura 3 muestra una curva de resultados

experimentales de una placa de vidrio templado de 1.6764 x 1.6764 m con espesor de 5.66 mm, simplemente

apoyada en sus cuatro bordes y sometida a carga lateral uniforme. En los resultados de la teoría lineal de placas se

observa que estos se encuentran lejos de predecir el comportamiento real del espécimen, y que sobreestiman las

deflexiones y esfuerzos cuando son comparados con los resultados reales obtenidos en la prueba experimental,

mientras que los resultados obtenidos con un modelo que considera la teoría de grandes deformaciones se encuentran

muy aproximados a los obtenidos del comportamiento real de la placa de vidrio templado de la curva experimental.

Figura 3 Gráfica de carga-deflexión obtenidas con la teoría lineal de placas, con la teoría de grandes

deformaciones y resultados experimentales de una placa de vidrio templado de 1.676 m x 1.676 m y espesor de 5.66 mm

Se observa que la curva más precisa corresponde a la que considera la no linealidad geométrica para estimar el

comportamiento de la placa de vidrio, creada con Ansys Workbench 14.5. En el modelo no lineal geométrico se

utilizó un módulo de elasticidad de 74000 MPa, una relación de Poisson de 0.23 y elementos finitos tipo placa de 4

nodos (Shell 181).

MODELOS ANALÍTICOS DE PLACAS DE VIDRIO

Una vez validada la teoría de grandes deformaciones como el método apropiado para estimar el comportamiento de

placas de vidrio, se definió la cantidad de modelos analíticos de placas de vidrio simplemente apoyadas en sus cuatro

bordes a estudiar mediante diferentes relaciones de aspecto, altura entre ancho (a/b, donde a > b), para las siguientes

relaciones de aspecto: 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5 y 7. Los casos de estudio se limitan al tamaño

máximo de hoja de vidrio recocido que con mayor facilidad se puede encontrar en el mercado, 2.5 m de ancho por

3.5 m de altura. Como resultado de estas consideraciones, el número de modelos analíticos donde se incluyen los

efectos de la no linealidad geométrica desarrollados fue de 56, para cada espesor nominal que comercialmente se

encuentra en la industria de la construcción: 2.5 mm, 3 mm, 4 mm, 5 mm, 6 mm, 8 mm, 10 mm, 12 mm, 16 mm, 19

mm, 22 mm y 25 mm. (algunos de estos espesores corresponden a los mencionados en la norma oficial mexicana,

NOM-146-SCFI-2001). Con todo lo anterior, se desarrollaron un total de 672 modelos.

Detalles de los modelos analíticos

Para explicar las bases de los modelos analíticos desarrollados en este trabajo, utilizaremos un ejemplo

representativo de los mismos, donde se muestran las variables necesarias para la generación de las curvas de


fragilidad. El ejemplo corresponde a una placa cuadrada de vidrio recocido de 2000 mm con 6 mm de espesor

nominal. Las propiedades isotrópicas del vidrio empleadas en este modelo corresponden a:

• E = 74000 MPa

• v = 0.23

• Densidad = 2500 kg/m3

La condición de apoyo de los cuatro bordes se hizo restringiendo el desplazamiento fuera del plano del panel de

vidrio, el cual corresponde al caso que se presenta en la Figura 4. Esta condición de apoyo es típica de sistemas de

acristalamiento a base de montantes y travesaños. La condición de apoyo simple corresponde a la condición de

mayor deflexión para una acción actuante fuera del plano de una placa de vidrio, ya que no impone ninguna

restricción ante el giro en el apoyo mismo. Las normas E 1300-12a y CAN/CGSB-12.20-M89 utilizan

principalmente esta condición de apoyo para los bordes de sus paneles de vidrio.

Figura 4 Condiciones de apoyo para sistemas de acristalamiento (SJ Mepla)

Adicionalmente se aprovechó la simetría de los paneles de vidrio, ya que con ello se redujo el tiempo de cómputo

mediante el desarrollo del modelo analítico correspondiente a un cuarto de placa (submodelo) para el análisis de

elementos finitos- Esto simplificó mucho el trabajo y redujo los tiempos de cálculo sin comprometer la precisión de

los resultados.

El elemento finito utilizado para modelar el comportamiento de las placas corresponde al elemento Shell de cuatro

nodos (Shell 181), donde la malla del ejemplo que se presenta se creó con elementos finitos de 20 mm por 20 mm de

lado. Para otras placas, el tamaño de elemento Shell podía alcanzar un tamaño máximo de 30 30 mm y un tamaño

mínimo de 10 10 mm. De esta forma el cuarto de placa del ejemplo está definida por un total de 2601 nodos y 2500

elementos, como se muestra en la Figura 5.

Figura 5 Malla representativa del modelo de un cuarto de placa

Para ejemplificar la condición de carga de los modelos analíticos, se presenta en la Figura 6 la presión uniforme

aplicada sobre la superficie de la placa de vidrio, que para este análisis se realizó mediante 20 estados de carga

definidos con incrementos de carga de 0.001 MPa, como se muestra en la Figura 6 (izquierda). Como en un principio

se desconoce la intensidad de carga uniforme para la cual se presenta la falla de cada uno de los 672 modelos, se

consideró una intensidad máxima de 0.02 MPa para cada uno de ellos.

11


Figura 6 Condición de carga vs. intensidad de carga uniforme (izquierda) y deflexión vs. carga uniforme (derecha), resultado obtenido de Ansys Workbench 14.5 para la placa de vidrio recocido de 2000 mm por

2000 m y 6 mm de espesor

La Figura 6 (derecha), muestra una curva característica de carga uniforme contra deflexión, bajo la condición de

análisis no lineal geométrico. En otra serie de resultados se presentan a continuación dos gráficas más donde se

relaciona la intensidad de carga uniforme con el comportamiento de los esfuerzos principales en el plano S1 y S2

(Figura 7). Generalmente, el comportamiento elástico-lineal del vidrio está asociado a una respuesta lineal de la

carga o presión uniforme contra los esfuerzos principales. Por lo tanto, conocida la pendiente de las rectas de la

Figura 7 es posible extrapolar otros esfuerzos para otras intensidades de carga uniforme, sobre todo en aquellas

placas de vidrio donde su resistencia de falla es superior a la calculada analíticamente con la carga uniforme de 0.02

MPa. La precisión de la predicción de falla obtenida de esta manera, es suficiente y además justificable para fines

prácticos debido al manejo de una gran cantidad de información, además de que se tiene una aplicación muy simple

y clara para fines de programación. En ocasiones, es preciso realizar un proceso iterativo para converger en la

predicción de la carga de falla, sobre todo cuando la interpolación o extrapolación se hace en casos no lineales de los

esfuerzos principales frente a la intensidad de carga uniforme. Existe también la posibilidad de realizar ajustes con

otro tipo de funciones para estos casos, usando la función polinómica de segundo grado (o superior), con lo cual se

gana en mayor precisión, sin embargo no resulta ser muy eficiente para su programación.

Figura 7 Gráficos de presión uniforme vs. esfuerzos principales, S1 (izquierda) y S2 (derecha), con ajuste lineal sobre ellos

En la Figura 8 se ilustra la distribución de los esfuerzos principales máximos (S1) y mínimos (S2) antes

mencionados, para el plano con esfuerzos de tensión del submodelo de placa. Sus deformaciones se presentan

también fuera del plano para una carga uniforme de 0.02 Mpa.


Figura 8 Resultados del submodelo de placa: 1) Vista deformada de la placa ante una carga de 0.02 Mpa, 2)

Deflexión máxima en el centro de 72.5 mm, 3) Distribución de esfuerzo principal máximo (S1) y 4) Distribución de esfuerzo principal mínimo (S2)

Comúnmente se calculan los esfuerzos sobre la superficie del panel directamente en los nodos de los elementos

finitos tipo Shell; sin embargo, la intensidad del esfuerzo requerida para que el MPVÚ sea preciso, corresponde a un

valor asociado a cada subárea, Ai, que es el área de cada elemento Shell que conforma toda la malla de elementos

finitos del modelo de la placa de vidrio. Para estimar estos valores, los resultados fueron obtenidos como el valor

promedio de los 4 nodos adyacentes de cada elemento Shell, tal como se ilustra en la Figura 8 para los esfuerzos

principales en el plano.

CURVAS DE FRAGILIDAD DE CARGA UNIFORME PARA UNA PLACA DE VIDRIO RECOCIDO NUEVO

Con toda la información anterior se estiman las curvas de fragilidad de presión uniforme contra la probabilidad de

falla, obtenidas mediante el desarrollo y programación de la ecuación 19. Esta se aplica una vez calculados y

definidos los parámetros y las propiedades del vidrio, valores correspondientes a las variables que se deben emplear

en cada caso de estudio (Tabla 9).

13


Tabla 9 Parámetros y propiedades considerados para estimar las curvas de fragilidad de paneles de vidrio recocido nuevo

Parámetro (s) Valor

Factor de intensidad de esfuerzo crítico (KIC) 23.7172 MPamm0.5

Factor de geometría de la fisura (Y) 1.12 (adimensional)

Parámetros de velocidad de grieta (v0, n) v0 = 6 mm/s

n = 16 (adimensional)

θ0 59.88 MPa

m0 5.18 (adimensional)

Módulo de elasticidad (E) 74000 MPa

Duración de carga uniforme (t) 3 (segundos)

Subárea (Ai) depende del tamaño de shell (mm2)

Esfuerzos principales en el plano S1 y S2 provienen del análisis de elemento finito (en MPa)

Para determinar las curvas de fragilidad fue necesario programar en Matlab la ecuación 20. Haldimann (2006)

programó su modelo generalizado con la ecuación 19, sin embargo este código se modificó de acuerdo al Modelo de

Predicción de Falla de Cortinas de Vidrio. Finalmente se le dio una interfaz gráfica para el usuario (GUI, siglas en

inglés), previendo la posibilidad de que sirva como una herramienta de cálculo más accesible, la forma gráfica de la

herramienta desarrollada se muestra en la Figura 9.

Figura 9 Interfaz gráfica para el usuario del programa de MPFCV, estimador de curvas de fragilidad

La Figura 10 ejemplifica y presenta un conjunto de curvas de fragilidad. En el eje de las ordenadas se presenta la

probabilidad de falla de paneles de vidrio y en el eje de las abscisas la carga uniformemente repartida asociada. Estos

resultados consideran las variables aleatorias implícitas en la predicción de la resistencia de falla y los parámetros de

la Tabla 9. A partir de estas curvas de fragilidad, es posible relacionar fácilmente la resistencia de falla mediante una

probabilidad de falla (Pf). Las probabilidades de falla comúnmente usadas para el diseño son de 0.8% y de 0.12%,

que son las que se manejan respectivamente en el código Americano y Europeo. Entonces, para cada una de las

placas de vidrio recocido nuevo de 2000 2000 h, donde h es el espesor nominal de 2.5 mm, 3 mm, 4 mm, 5 mm,

6 mm, 8 mm, 10 mm, 12 mm, 16 mm, 19 mm, 22 mm y 25 mm, se calculó su respectiva resistencia de falla asociada

a las probabilidades de falla definidas en los códigos antes mencionados: Pf = 0.8% y a la Pf = 0.12%. Los

resultados se muestran en la Figura 10.


Figura 10 Curvas de fragilidad de presión uniforme para las placas de 2000 mm x 2000 mm x h mm

GRÁFICOS DE DISEÑO PARA EL CÁLCULO DE LA RESISTENCIA DE FALLA Y DE DEFLEXIÓN EN EL CENTRO DEL CLARO DE PANELES DE VIDRIO RECOCIDO NUEVO

De acuerdo con lo presentado en las secciones anteriores, se estimaron las predicciones de falla de los 672 paneles de

vidrio recocido nuevo con el MPFCV y las deflexiones centrales de cada uno de los mismos paneles ante distintas

intensidad de carga uniforme. Los resultados se expresan a través de 12 gráficos correspondiente a cada uno de los

espesores nominales (h) definidos: 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 19, 22 y 25 mm. Estos gráficos facilitan la tarea del

diseño estructural a los profesionales de la práctica. El formato de los gráficos de diseño se ha expresado con

similitud a los propuestos en la norma Americana E1300-12a.

De los gráficos de diseño que se presentan a continuación, Figuras 11 a 22, se estima la predicción de la resistencia

de los paneles de vidrio recocido nuevo con sus cuatro bordes simplemente apoyados sometidos a una carga lateral

con duración de tres segundos. Para el uso de estas herramientas en la predicción de la carga de falla es necesario

conocer las dimensiones propuestas del panel de vidrio (su longitud, ancho y espesor). De acuerdo con el espesor se

selecciona el gráfico adecuado, y con base en las dimensiones restantes se siguen las trayectorias de los ejes vertical

y horizontal. En el punto de intersección se lee el valor de carga de falla esperada (sin factorizar) en kPa para una

probabilidad de falla asociada de 0.8%. Finalmente, se debe comparar la resistencia por carga lateral del panel

obtenida del gráfico de diseño contra la carga de diseño, la resistencia de falla (Rf) debe ser mayor o igual a la de

carga de diseño (Ld).

d fL R (21)

La deflexión máxima en el centro del claro de una placa, se estima mediante las gráficas de carga uniforme contra

deflexión de las Figuras 11 a 22, como función de la carga de diseño, el espesor nominal y la relación de aspecto a/b

(donde, a> b) de la placa. Para hacer uso de estas herramientas de diseño, el primer paso consiste en seleccionar el

gráfico adecuado considerando el espesor nominal del panel de vidrio; después se entra al eje de las abscisas con el

cálculo de la operación carga × área2, en el paso continúo se intersecta la curva de aspecto con el valor

correspondiente a la relación de aspecto de a/b, y para finalizar se intersecta el eje vertical para encontrar el valor

correspondiente a la deflexión máxima (wmáx) en el centro del claro del panel de vidrio en cuestión. Las Figuras 11 a

22 son ejemplos de los gráficos de diseño del MPFCV que se crearon para la predicción de las cargas de falla y la

máxima deflexión esperada en el centro del claro de paneles de vidrio recocido, asociados a un módulo de elasticidad

de 74 GPa y a una relación de Poisson de 0.23.

15


Figura 11 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 2.5 mm de espesor nominal



17






Figura 20 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 19.0 de espesor nominal



19


CONCLUSIONES

En este documento se presenta una breve descripción de los métodos de diseño más importantes de Europa y de

Norteamérica para determinar la predicción de falla de placas de vidrio ante carga lateral uniforme. Como resultado

de este trabajo de investigación se obtienen las siguientes conclusiones y recomendaciones:

Establecer una comparación directa entre cada método de diseño para definir la predicción de la resistencia del vidrio

no es del todo posible, ya que cada modelo de predicción está desarrollado de acuerdo a sus propios parámetros, los

cuales suelen estar definidos teóricamente y, en ocasiones, empíricamente, lo que obstaculiza el establecimiento de

dicha comparación. Por lo tanto, es común que los resultados obtenidos con las diferentes normas diferirán. Sin

embargo, al establecer una comparación general de cada uno de los métodos es posible encontrar diferencias

importantes.

Las normas Norteamericanas corresponden a propuestas derivadas de las técnicas del modelo de predicción de falla

para ventanas de vidrio desarrollado por Beason en 1980. Tanto la norma Americana ASTM E 1300-12a como la

norma Canadiense CAN/CGSB 12.20-M89, permiten calcular la probabilidad de falla de placas de vidrio sujetas a

presión lateral uniforme de carga para ser determinada como función de la geometría de la placa, la duración de la

carga y las propiedades de la superficie del vidrio. La norma Americana hace su predicción de falla de placas de

vidrio para una duración de carga de tres segundos, mientras que la norma canadiense lo hace para una duración de

carga de 60 segundos. Ambas normas presentan gráficos de diseño fáciles de utilizar con una probabilidad de falla

asociada de 0.8% para cada uno de los espesores nominales.

La norma Americana se fundamenta en el análisis de placas rectangulares de vidrio recocido intemperizado ante

carga lateral uniforme, es decir, se trata de un vidrio que estuvo en servicio y en exposición al medio ambiente

durante más de 20 años. En cambio la norma Europea está basada sobre el análisis de pruebas coaxiales de doble

anillo sobre muestras de vidrio con daño homogéneo inducido artificialmente sobre su superficie y sujetas a una tasa

de esfuerzo de aproximadamente 2 MPa/s.

El método más refinado en su formulación es el MPVÚ desarrollado por Haldimann (2006) y por Haldimann et al.

2008. Se trata de una propuesta generalizada y avanzada para el diseño de elementos estructurales de vidrio, la cual

está fundamentada en la mecánica de la fractura elástica y en la teoría de probabilidad. Sin embargo, es una

propuesta que resulta poco práctica de usar como método de diseño para estimar la probabilidad de falla de placas de

vidrio ante carga lateral, por la gran cantidad de conceptos, parámetros y pruebas experimentales que se requirieren y

que deben estar incluidas dentro de su formulación.

El MPFCV que se propone en este estudio, es derivado del método de MPVÚ y permite calcular en forma exacta la

predicción de la resistencia de falla de placas de vidrio recocido simplemente apoyadas en sus cuatro bordes ante

carga lateral uniforme con duración de tres segundos, mediante gráficos de diseño para 12 diferentes espesores

nominales (Puga, 2014). La condición de borde a lo largo de los cuatro lados es la que comúnmente tienen las

cortinas de vidrio de fachadas de edificios ubicados en la República Mexicana. Las conexiones más apropiadas para

el diseño de cortinas de vidrio son las que se construyen a base de un sistema estable de montantes y travesaños,

porque brindan la mayor capacidad de sujeción de los paneles de vidrio, incluso después de su ruptura, que es

esencial para su fácil reemplazo, pero sobre todo para evitar la caída de fragmentos con riesgo de daño hacia las

personas.

Para las normas de diseño de placas de vidrio, es muy importante estimar la resistencia del vidrio como elemento

estructural, así como es igualmente importante definir y predecir las acciones de diseño que se espera actúen sobre

elementos estructurales de vidrio. De la correcta determinación de estas acciones depende la precisión y seguridad

del diseño. Por lo tanto, el modelo más completo para la determinación de la carga de diseño, corresponde a la norma

Europea, ya que en ésta se considera el comportamiento de cada una de las acciones involucradas en el diseño,

mediante factores que relacionan la combinación de cargas, y de factores parciales que representan el grado de

variabilidad y de frecuencia de la acción considerada. Otro aspecto sobresaliente, es la forma en que se establecen

desde el inicio los estados límites de servicio y último, que son esenciales para el buen desempeño de los elementos

estructurales de vidrio durante su vida útil, y que son congruentes con las filosofías de diseño por desempeño que

actualmente se utilizan en los códigos de diseño correspondientes a elementos estructurales de otro tipo de materiales

como son el acero, el concreto reforzado y la madera.


AGRADECIMIENTOS

Se agradece al CONACyT por su apoyo económico para desarrollar este trabajo como parte de los requisitos para

obtener el grado de Maestro en Ingeniería en el Área de Estructuras, a la Universidad Michoacana de San Nicolás de

Hidalgo (UMSNH) y a su Coordinación de Investigación Científica por el apoyo recibido para la realización de este

trabajo, así como también al Instituto Tecnológico de Morelia (ITM) por el acceso y préstamo de sus instalaciones.

REFERENCIAS

ANSYS (2012). “Ansys v14.5” (programa de elemento finito). Ansys, Inc., EUA. http://www.ansys.com/

ASTM C 1499-05 (2005) “Standard test method for monotonic equibiaxial flexural strength of advanced

ceramics at ambient temperature”, American Society for Testing Materials, EUA, pp. 1-11.

ASTM E 1300-12a (2012), “Standard practice for determining load resistance of glass in building”. American

Society for Testing Materials, EUA, pp. 1-59.

Beason W.L., Kohutek T. L. y Bracci J. M. (1998), “Basis for ASTM E 1300 annealed glass thickness selection

charts”, Journal of Structural Engineering, EUA, Vol. 124, No. 2, febrero, pp. 215-221.

Beason W.L. (1980), “A failure prediction model for window glass”, Tesis doctoral, Universidad Tecnológica de

Texas, EUA, mayo, 212 pp.

Beason W.L. y Morgan J.R. (1998), “Glass failure prediction model”, Journal of structural Engineering, ASCE,

Vol. 110, No. 2, febrero, pp. 197-212.

CAN/CGSB-12.20-M89 (1989), “Structural design of glass for buildings”. Canadian General StandardsBoard,

Canadá, 51 pp.

EN 1374-1 (1999), “Vidrio para la edificación – diseño de los acristalamientos- parte 1: base general de

cálculo”, Comité Europeo de Normalización, enero, pp. 1-29.

Griffith A.A. (1920), “The Phenomena of Rupture and Flow in Solids”. Philosophical Transactions, Series A,

volume 221, pp. 163-198.

Haldimann M. (2006), “Fracture strength of structural glass elements – analytical and numerical modelling,

testing and design”, Tesis No. 3671, Universidad Politécnica de Lausana, Suiza, diciembre, 201 pp.

Haldimann M., Luible A. y Overed M. (2008), “Structural use of glass”, Structural Engineering Documents,

International Association for Bridge and Structural Engineering, Zürich, Suiza, 215 pp.

Lee H.H. (2012), “Finite element simulations with ansys workbench 14 – theory, application, case studies”,

Schroff Development Corporation, 579 pp.

Madenci E. y Guven I. (2006), “The finite element method and applications in engineering using ansys”,

Springer, EUA, 686 pp.

NOM-146-scfi-2001 (2001), “Productos de vidrio – vidrio de seguridad usado en la construcción-

especificaciones y métodos de prueba”, Norma Oficial Mexicana, México, mayo, pp. 1-25.

prEN 1374-2 (2000),“Glass in building – design of glass panes – part 2: design for uniformly distributed loads”,

European Committee for Standardization, febrero, pp. 1-54.

prEN 1374-3 (2009),“Glass in building – determination of the strength of glass panes – part 3: general method

of calculation and determination of strength of glass testing”, European Committee for Standardization, octubre,

pp. 1-34.

Puga J.H. (2014), “Modelo de predicción de falla de cortinas de vidrio”, Tesis de maestría, Universidad

Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, 229 pp.

Ventsel E. y Krauthammer T. (2001), “Thin plates and shells theory, analysis, and applications”, Marcel Dekker

AG, New York, EUA, 658 pp.

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