Diver Gencia

Divergencia Matemática III

1

Problema de divergencia

Calcule el flujo del campo a través de ,

con su normal apuntando hacia arriba.

Sol.

Del grafico:

Nos interesa calcular el flujo: ∬

Usando el teorema de la divergencia:

∬

∭

Entonces:

∬

∭

Lo cual significa que el flujo saliente por la superficie es nulo y por lo tanto:

∬

∬

∬

∬

∬

……….(1)

calculamos ∬

de la siguiente manera:

….vector normal unitario saliente a la superficie

∬

∬

∬

∫ ∫

√ √

√ √

√

√

En (1): ∬

∬


2

∬

PROBLEMAS

1.Usando el teorema de Pappus halle el volumen del solido al rotar la región y=3x, y=

alrededor de y=4x

Sol.

Por Teorema de Pappus: ……(1)

Donde:

es la distancia del centroide al eje de rotación.

es el area de la región a rotar.

Determinaremos las coordenadas del centroide:

∬

∬ ,

∬

∬ …………..(*)

∬ ∫ ∫

∬ ∫ ∫

∬ ∫ ∫

Reemplazando en (*):

,


3

Por lo tanto, el centroide es CG

Luego “R” será la distancia de este punto a la recta y=4x. Entonces:

R=

√

(

)

√

√

………….(2)

Además tenemos: ∬

………….(3)

(2)y (3) en (1):

( √

)(

)

√

√

2. Usando notación indicial, halle la función escalar si:

(

)

Sugerencia: demostrar previamente la identidad: ( )

Sol.

Demostraremos la identidad:

Usando notación indicial:

⏟

⏟

//esta identidad la usaremos para los problemas posteriores//

Con este resultado, evaluamos en:

(

)

Entonces:


4

Usando notación indicial, tenemos:

Integrando:

∫ (

) ∫

Como: , entonces:

∫ (

)

∫

Integrando nuevamente:

∫

∫

∫

3.

a. demostrar: ∭ ( )

∬

Sol.

De: ∬

…….(1)

Sea:

multiplicamos escalarmente por el gradiente

Entonces:

…(2)

reemplazamos (1)y(2) en el teorema de la divergencia ∬

∭

, entonces:

∬

∭

∬

∭


5

b. Demostrar: (

) ,

sol.

De la identidad:

Identificamos que n=-2, entonces:

(

)

(

)

c. Sea: ,

‖ ‖

‖ ‖

c.a. Halle

sol.

Como:

(

‖ ‖

‖ ‖ ) ‖ ‖ ‖ ‖ …..(1)

Por propiedad:

Entonces:

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖

En (1):

b. evalue ∬

sol.

Por el teorema de la divergencia : ∬

∭

Y del resultado anterior , entonces:

∬

∭


6

∬

4. Sea una curva simple cerrada que no pasa por (1,0), (2,0) calcule:

∮

Sol.

Tenemos:

Las derivadas parciales no son continuas en (1,0), (2,0)

Entonces analizamos dos posibilidades:

si los puntos (1,0), (2,0) no se encuentran dentro de la región encerrada por , entonces

resolvemos el problema usando el teorema de green:

∮

∬{

}

∬

, donde es el area encerrada por la curva

∮

∬

Ahora si (1,0), (2,0) se encuentran dentro de la región encerrada por , entonces no podemos

aplicar el Teorema de Green, por lo que resolveremos el problema por integral de línea.


7

∮

∮

, donde: (

)

∮

∮

5.

5.1 Halle el valor numérico de E:

(

)

Sol.

Calcularemos separadamente cada termino:

i. usando notación indicial para (

), entonces:

⏟

(

)

⏟ ⏟

Dado que:

es antisimetrico en i y j

es simetrico en i y j

Entonces: (

)

………..(1)

ii. usamos notación indicial para , entonces:

como: , reemplazamos:


8

( )

Aplicando la contracción:

{

Entonces:

Nuevamente por la contracción , tenemos:

…………………(2)

iii. usando la propiedad:

entonces con n=2 tenemos que:

……………………(3)

Finalmente:

(1), (2) y (3) en “E”

(

)

5.2 si ver que: ∮

∬

Sol.

como: ∮

∮

Sea:

Aplicamos el rotacional a F, entonces:

||

|| (

) (

) (

)


9

(

(

)) (

(

))

(

(

))

Ordenando y agrupando términos:

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

Observamos que los últimos tres términos conforman el rotacional de A, y como

Entonces la expresión anterior se reduce a:

(

) (

) (

)

Le multiplicamos el vector normal unitario , entonces:

Ordenando y agrupando términos:

(

) (

) (

)

[ (

)]

….(1)

Luego de (1):

Por el teorema de Stokes: ∮

∬

∬

∮

∬

6. Demostrar que: [ ( )]

Sol.

Por la identidad:


10

Entonces:

Luego:

[ ] [ ]

(

)

[ ( )] .

7. Sea la normal exterior unitaria del cascarón elíptico

y sea

32 2 4 2( , , ( ) ( ))

xyzF y x x y sen e

Calcule el valor de

.s

F ndS

SOLUCION:

Utilizando el teorema de Stokes: . .s

F ndS F dr

Parametrizando 0 2t

2 2 2: 4 9 36 36,0S x y z z

3cos

2sin

0

x t

y t

z

3sin

2cos

0

dx tdt

dy tdt

dz dt


11

Reemplazando

8.-Sea n la normal ala superficie, del cascaron

parabólico

y sea :

Encuentre el valor de

SOLUCION

Utilizando el teorema de stokes: . .s

F ndS F dr

Parametrizando 0 2t

2

2

0

2sin ( 3sin ) 9cos (2cos ) 6t t dt t t dt

2 2: 4 ,0S x y z y y

11 1( , tan , )

2 4F z y x

x z

.s

F ndS

cos

0

2sin

x t

y

z t

sin

0

2cos

dx tdt

dy dt

dz tdt


12

Evaluando en la integral:

16.-Use la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular el flujo

del rotacional del campo F a través de la superficie S en la dirección de la

normal unitaria n hacia afuera

SOLUCION

Tenemos que hallar:

Hallando la normal a la superficie:

(cos ,sin , 1)

( sin , cos ,0)

dR

dr

dRr r

d

2

0

1 1( 2sin )( sin ) (cos )(2cos ) 4

2 cos 4 2sint t dt t t dt

t t

( , , )F x y y z z x

( , ) ( cos , sin ,5 )R r r r r

.s

F ndS


13

dR dR dR dRn

dr d dr d

dR dRdS dA

dr d

En donde:

12.-Sea F un campo vectorial diferenciable definido sobre una región que

contiene una superficie S suave cerrada orientada y sus interior .Sea n el

Campo vectorial normal unitario sobre S .Suponga que S une dos superficies 1S y

2S a lo largo de una curva C cerrada simple ¿ puede decirse algo acerca de

.s

F ndS ?

.R

dR dRF dA

dr d

( cos sin , sin 5,5 cos )F r r r r r r

( cos , sin , )dR dR

r r rdr d

5 2

0 0

. 125dR dR

F rd drdr d


14

SOLUCION

1 2

. . .s s s

F ndS F ndS F ndS

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