Estadstica Aplicada

Estadstica Aplicada2010

I. ESTIMACIN DE PARMETROS 1.1. Estimacin puntual

Para estimar los parmetros de una poblacin, es necesario disponer de algunos datos que provengan de dicha poblacin. Cualquier muestra de observaciones proporciona cierto conocimiento acerca de la poblacin de la cual proviene. Para medir el error muestral es necesario que dicha muestra sea ALEATORIA.

Desde el punto de vista algebraico, el estimador de un parmetro es una funcin de las observaciones muestrales , que puede ser lineal, cuadrtica, etc.

Ejemplos:

El resultado numrico que se obtiene es la estimacin del parmetro, en tanto que la expresin matemtica (o algebraica) es el estimador del parmetro. Puede haber varios estimadores del mismo parmetro, de los cuales se pretende elegir el mejor, en base a las caractersticas o propiedades que se requiera del mismo.

1.2. Propiedades de los estimadores

a) Insesgado o no viciado:Un estimador se dice Insesgado si su esperanza es igual al parmetro. Es decir:

Por el contrario, el estimador se dice viciado si su esperanza es distinta al parmetro.

b) Consistente:Un estimador se dice consistente si converge al parmetro, es decir, si su distribucin se concentra alrededor del parmetro a medida que aumenta el tamao de la muestra, de forma tal que el error de muestreo tiende a desaparecer. Es decir:

Si un estimador es insesgado (o asintticamente insesgado), ser consistente si su variancia tiende a cero. Es decir:

o bien :

c) Eficiente:Decimos que un estimador no viciado es eficiente si es de mnima variancia. O sea, el estimador se dice eficiente si su variancia es menor que la de cualquier otro estimador del mismo parmetro. Es decir:

Si es un estimador no viciado de , entonces es eficiente si :

Eficiencia relativa:Dados dos estimadores no viciados del mismo parmetro, se dice que es ms eficiente aqul que tiene menor variancia. Es decir:

Sean dos estimadores de , decimos que

d) Suficiente:Un estimador se dice suficiente si contiene (o absorbe) toda la informacin proporcionada por la muestra, en lo que respecta al parmetro.

e) Invariancia:

Un estimador se dice invariante cuando una funcin del mismo es un buen estimador de la funcin del parmetro. Es decir: es invariante

II. Mtodos de estimacin puntual

1.-Mtodo de los momentos: Consiste en estimar los momentos poblacionales a travs de los momentos muestrales.

2.-Mtodo de los Mnimos Cuadrados: Consiste en encontrar estimadores de los parmetros de forma tal que minimicen la suma de los cuadrados de los desvos. Con este mtodo se obtienen estimadores no viciados y consistentes, pues el mismo garantiza mnima variancia y suma de desvos igual a cero.

3.-Mtodo de Mxima Verosimilitud: Consiste en encontrar estimadores de los parmetros de forma tal que maximicen la funcin de probabilidad de la muestra. Para ello, es imprescindible conocer la distribucin de la variable en la poblacin. Este mtodo proporciona los mejores estimadores, que gozan excelentes propiedades: Insesgado (o bien, asintticamente insesgado), Consistente, Eficiente, Suficiente, Invariantes y de distribucin asintticamente Normal.

Pasos a seguir para obtener los estimadores de mxima verosimilitud

Primero se obtiene la funcin de probabilidad de la muestra , tambin llamada funcin de verosimilitud y su expresin est dada en trminos de los parmetros y de las observaciones. Comnmente se la simboliza con , donde es el vector aleatorio que representa a la muestra (o valores observados) y es el parmetro que se quiere estimar.

Luego se pretende hallar el valor de que maximice a valor que tambin maximiza al logaritmo de la funcin : ln , (ya que el logaritmo es una funcin montona creciente). Por lo tanto, el segundo paso es aplicarle logaritmo a la funcin de probabilidad de la muestra ( o de verosimilitud) con el fin de simplificar la derivada.

Se sabe que una funcin continua y derivable alcanza su valor mximo en un punto para el cual se anula su derivada. Si la funcin de probabilidad de la muestra satisface este requisito, entonces el tercer paso es derivar la funcin obtenida ln respecto del parmetro , y luego hallar el valor de (o la expresin de ) para el cual se satisface: .

Inconvenientes:

El mtodo de mxima verosimilitud asegura que los estimadores obtenidos son los de mnima variancia, pero no indica cual sea esta variancia. El mtodo de mxima verosimilitud asegura que los estimadores obtenidos son los que asignan mxima probabilidad a la muestra, pero obviamente se admite que dicha muestra sea posible de obtener an con diferentes valores del parmetro.

Estas son razones por las cuales la estimacin puntual se torna impracticable (sin inters prctico), y se prefiere la estimacin por intervalos, ya que provee de ms informacin.

III. Estimacin por Intervalos

Consiste en encontrar un conjunto de nmeros reales que conforman posibles valores del parmetro.

La estimacin por intervalo se realiza utilizando un nivel de confianza, que simbolizamos con 1- y que representa la probabilidad de que dicho intervalo contenga al verdadero valor del parmetro .

La construccin del intervalo de confianza consiste en hallar los lmites inferior y superior en funcin de la muestra obtenida. Para su obtencin es necesario conocer la distribucin del estimador del parmetro (distribucin que obviamente depender del parmetro.). Generalmente se construye una nueva variable en la cual intervienen el estimador y el parmetro, dicha variable recibe el nombre de estadstica de prueba y la simbolizamos g(,) .

Su ventaja reside en que la distribucin de la estadstica de prueba ya no depende del parmetro siendo una distribucin standard con los valores de probabilidad tabulados correspondiente a un gran nmero de valores posibles de la variable.

Construccin de los intervalos de confianza

Intervalo de Confianza para la media en poblaciones normalesSea (X1, X2,..., Xn) una muestra aleatoria extrada de una poblacin normal, luego, i = 1... n : X ~ N( , ) .

Por lo tanto tenemos que:

X1 , X2 , ... , Xn iid N( , ). y

a) Si 2 es conocido, entonces el intervalo para se obtiene

siendo z/2: el valor de la variable normal standarizada que est superado con una probabilidad /2.De dicha expresin se obtiene que:

b) Si 2 es desconocido, se utiliza su estimador S2 y la distribucin : Entonces el intervalo para se obtiene de :

siendo tn-1,/2 el valor de la variable t-student con n grados de libertad, superado con probabilidad /2De dicha expresin se obtiene que :

Intervalo de Confianza para la proporcinSean X1 , X2 , ... , Xn iid Bi ( p ) . X = Xi ~ B ( n , p ) .

Para n suficientemente grande, la variable binomial se distribuye aproximadamente normal ,

aproximadamente : X ~ y

donde es un valor desconocido puesto que no se conoce el valor del parmetro p, por lo tanto se utiliza el estimador del desvo, obteniendo la siguiente distribucin, que es aproximadamente normal:

Dicha aproximacin es buena para muestras de tamao suficientemente grandes, y el mnimo tamao de muestra depende del valor de h. W.G. Cochran da una regla prctica para ser utilizada en la bsqueda de intervalos de confianza del 95%, correspondientes a la proporcin poblacional p.

Proporcin emprica hTamao mnimo de muestra n

0.530

0.4 o 0.650

0.3 o 0.780

0.2 0 0.8200

0.1 o 0.9600

0.05 o 0.951400

Para estos valores de n se obtiene una buena aproximacin Normal vlida para la construccin de intervalos del 95% de confianza.

con el (1-).100% de confianza

Intervalo de Confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones normales independientes

Sean ( X1 , X2 , ... , Xn ) y ( Y1 , Y2 , ... , Ym ) dos muestras aleatorias extradas de poblaciones normales , luego : i = 1 .. n : Xi ~ N(x, x ) . j = 1 .. m : Yj ~ N(y, y ).

Por lo tanto tenemos queX1 , X2 , ... , Xniid N( x, x )Y1 , Y2 , ... , Ymiid N( y, y )con Xi independiente de Yj

Entonces

a) Si son conocidos, el intervalo de confianza para se obtiene de la siguiente manera:

con el (1-).100% de confianza

b) Si son desconocidos pero iguales , entonces el estimador de ambos es

Luego, como :

el intervalo de confianza para se obtiene de la siguiente manera :

con el (1-).100% de confianza , siendo g = n+m-2

Nota:

Para n y m suficientemente grandes,

Distribucin de la diferencia de proporciones muestrales de dos poblaciones independientes

X1 , X2 , ... , Xniid Bi(p1)Y1 , Y2 , ... , Ymiid Bi(p2)con Xi independiente de Yj i , j

Sean

Luego, h1 y h2 son independientes y se distribuyen aproximadamente normal :

donde es desconocido, ya que no se conocen los parmetros p1 y p2 . Luego se utiliza el estimador de este desvo:

obteniendo la siguiente distribucin aproximadamente normalvlida para muestras suficientemente grandes.

Los intervalos de confianza para sern de la forma:

con el (1-).100% de confianza

Intervalo de Confianza para la variancia en poblaciones normales

Sean X1 , X2 , ... , Xniid N( , ). Entonces

y

Comotenemos que:

Basado en esta informacin, sabemos que:

de donde se obtiene el intervalo de confianza para

con el (1-).100% de confianza .

Distribucin del cociente de variancias muestrales de poblaciones normales independientes

X1 , X2 , ... , Xn iid N(x, x ); Y1 , Y2 , ... , Ym iid N(y, y ) con Xi independiente de Yj i , j

Luego se deduce que:

Por ser independientes resulta que :

y anlogamente se deduce que:

Basado en esta informacin, sabemos que:

que equivale a:

de donde se obtienen los intervalos de confianza para los cocientes de las variancias

con el (1-).100% de confianza

con el (1-).100% de confianza

Aplicaciones del Teorema Central del LmiteIntervalo de confianza para la media en poblaciones de distribucin desconocidaSi la distribucin de X no se conoce, pero se trata de una muestra suficientemente grande, se aplica el Teorema Central del Lmite y as se obtienen los intervalos para

a)

b)

Intervalo de confianza para la diferencia de medias en poblaciones de distribucin desconocidaSi las distribuciones de X y de Y no se conocen, pero se trata de muestras suficientemente grandes, se aplica el Teorema Central del Lmite y as se obtienen los intervalos para la diferencia entre las medias poblacionales usando la distribucin Normal:

a) si se conocen las variancias poblacionales

con el (1-).100% de confianza

b) si no se conocen las variancias poblacionales, pero se las supone iguales, entonces

con el (1-).100% de confianza

c) si no se conocen las variancias poblacionales, y tampoco puede suponrselas iguales, entonces

con el (1-).100% de confianza

PRUEBAS DE HIPTESISDefinicin:Hiptesis estadstica es un supuesto acerca de la distribucin de una variable aleatoria. Podemos especificar una hiptesis dando el tipo de distribucin y el valor del parmetro (o valores de los parmetros) que la definen.

Ejemplos:

1. X est normalmente distribuida con .2. Y es una variable binomial con p = 0.25Frecuentemente (en la prctica), la distribucin poblacional est implcita, y la hiptesis estadstica slo especifica el valor del parmetro.

Ejemplos :

3. La tasa media salarial es 4. La proporcin de productos defectuosos en cierto proceso es inferior a 0.05, o sea p < 0.05.

Una hiptesis estadstica puede considerarse como un conjunto de hiptesis elementales. Al respecto, una hiptesis estadstica puede ser simple o compuesta .Una hiptesis simple es una especificacin del valor de un parmetro, como en el ejemplo (3). En cambio, una hiptesis compuesta contiene ms de un valor del parmetro, como en el ejemplo (4), y se la considera constituida por el conjunto de todas las hiptesis simples compatibles con ella.Con el objeto de probar la validez de tales hiptesis, se lleva a cabo un experimento, y la hiptesis formulada es desechada si los resultados obtenidos del experimento son improbables bajo dicha hiptesis. Si los resultados no son improbables, la hiptesis no es desechada por falta de evidencia.Una hiptesis compuesta es considerada verdadera (lo cual significa que no ser rechazada o desechada) cuando alguna de las hiptesis simples que la componen pueda considerarse verdadera.

Ejemplo :Supongamos que queremos probar la hiptesis de que la probabilidad de obtener un as al arrojar un dado, es de 1/6 , y con tal fin arrojamos un dado 600 veces . Si se obtienen 600 ases , este resultado es improbable bajo la hiptesis supuesta, lo cual nos lleva a rechazarla pues la evidencia indica que ella es falsa .Si se obtienen 100 ases , este resultado no sera improbable bajo la hiptesis supuesta, y sin duda la hiptesis no ser rechazada , por falta de evidencia.Obteniendo resultados como stos, la intuicin y el sentido comn son suficientes para tomar una decisin. Sin embargo, en la prctica los experimentos no conducen a conclusiones tan obvias, de donde surge la necesidad de un mtodo para probar la hiptesis, y esto implica establecer reglas de decisin .El hecho de rechazar una hiptesis no significa que sta sea falsa, como tampoco el no rechazarla significa que sea verdadera. La decisin tomada no esta libre de error. A este respecto, consideraremos dos tipos de error que pueden ser cometidos, y que los denominaremos error de tipo I y error de tipo II, y que consisten en:Error I :Rechazar una hiptesis que es verdadera .Error II : No rechazar una hiptesis que es falsa .La forma de medir estos errores es mediante la probabilidad. Simbolizaremos con a la probabilidad de rechazar una hiptesis verdadera, y con a la probabilidad de no rechazar una hiptesis falsa; por lo tanto = P( rechazar H / H es verdadera ) y = P( no rechazar H / H es falsa )Es deseable que estas dos probabilidades de error sean pequeas. Una forma cmoda de especificar lo que se requiere de un procedimiento de prueba es concentrar la atencin en dos conjuntos posibles de valores del parmetro, es decir, en dos hiptesis estadsticas, a las cuales llamaremos hiptesis nula designada por H0 e hiptesis alternativa designada por H1.La prueba de hiptesis es un procedimiento de toma de decisiones , relacionada principalmente con la eleccin de una accin entre dos posibles . Por lo tanto, cada hiptesis (nula y alternativa) la asociaremos con una de las acciones. Esta designacin, en principio, es arbitraria, pero tpicamente la hiptesis nula corresponde a la ausencia de una modificacin en la variable investigada, pudiendo considerar que nulifica el efecto de un tratamiento , y por lo tanto se especifica de una forma exacta : H0 : = 0 ; en tanto que la hiptesis alternativa generalmente indica una variacin de valores que prevalecera si la variable sufre alguna modificacin, pudiendo pensar que el tratamiento fue efectivo , por lo cual esta hiptesis (alternativa) se especifica de manera ms general :H1: 0 H1 : > 0 H1 : < 0.Observemos que en general la hiptesis alternativa es compuesta. Raramente la hiptesis alternativa es una hiptesis simple, como por ejemplo: H1 : = 1 , sino que, normalmente sta es el complemento de la hiptesis nula .

ERRORES Y RIESGOS DE LA PRUEBA

La prctica de probar la hiptesis nula contra una alternativa, sobre la base de la informacin de la muestra, conduce a dos tipos posibles de error, debido a fluctuaciones al azar en el muestreo. Es posible que la hiptesis nula sea verdadera pero rechazada debido a que los datos obtenidos en la muestra sean incompatibles con ella ; como puede ocurrir que la hiptesis nula sea falsa pero no se la rechace debido a que la muestra obtenida no fuese incompatible con ella .

Cuadro de decisiones y errores

Estado NaturalezaHo es verdaderaHo es falsa

Decisin

Rechazar Hoerror I incorrectoCorrecto

No Rechazar HoCorrectoerror II - incorrecto

Las probabilidades de cometer errores de tipo I y II se consideran los "riesgos" de decisiones incorrectas. As, la probabilidad de cometer un error de tipo I se llama nivel de significacin de la prueba y se simboliza con .. . = P( error I ) = P( rechazar Ho / H0 es verdadera ) y la probabilidad de cometer un error de tipo II se designa por . Entonces : = P( error II ) = P( no rechazar Ho / Ho es falsa )

Prueba de hiptesis simple contra alternativa nica

Consideremos el caso de una hiptesis nula simple contra una hiptesis alternativa tambin simple.H0 : = 0 ; H1 : = 1

Sea la variable aleatoria X con distribucin conocida : X ~ f(x , ) , y sea un estimador de . Entonces, la estadstica de prueba tiene distribucin conocida siempre que se conozca el valor del parmetro . Luego, dicha distribucin queda completamente definida suponiendo verdadera la hiptesis nula H0 : = 0. Las reglas de decisin sobre el rechazo o no de Ho se establecen respecto a la amplitud de y el resultado particular de la muestra. Se clasifica la amplitud de en dos subconjuntos que son : R = regin de rechazo o regin crtica que contiene los resultados menos favorables a Ho , y A = regin de aceptacin o regin de no rechazo que contiene los resultados ms favorables a Ho . De esta forma, si R rechazamos Ho y si A no rechazamos Ho . El valor de que separa R de A se denomina valor critico de la estadstica de prueba, y se representa por c .

Si suponemos 1 > 0 , entonces :

01

donde son las funciones de densidad del estimador del parmetro , segn sea = 0 o = 1 respectivamente.UBICACION DE LA REGION CRTICA

Fijado el nivel de significacin ,debemos dividir (separar) el recorrido de en dos subconjuntos disjuntos : R = regin de rechazo (o regin crtica) y A = regin de no rechazo (o de aceptacin) , siendo A el complemento de R . Luego, se verifica que :

Dnde ubicamos esta regin crtica R ?Dada nuestra preocupacin de cometer un error de tipo II , deberemos escoger para R una ubicacin donde la probabilidad de este error sea mnima :

La regin de aceptacin A es el complemento de la regin de rechazo R , y la ubicacin de R depende de la naturaleza de la hiptesis alternativa H .

Caso I

1

Caso II

Caso III

10

PASOS A SEGUIR PARA PROBAR UNA HIPOTESIS 1. Formular las hiptesis de acuerdo con el problema.2. Escoger un nivel de significacin () dependiendo de los costos de cometer errores de tipo I y tipo II.

3. Escoger el estimador del parmetro cuya distribucin por muestreo sea conocida en el supuesto de que la hiptesis nula sea verdadera, es decir, se conoce .4. Establecer la regla de decisin, que depende de la forma de la hiptesis alternativa y del nivel de significacin. Esto se refiere a hallar los valores crticos.5. En base a una muestra seleccionada al azar, calcular el valor del estadstico. Luego, comparar con el valor crtico (o los valores crticos).6. Decidir si rechazar o no la hiptesis nula.Observaciones :Slo se toma en cuenta el error de tipo I . Por lo tanto, el test es significativo si se rechaza la hiptesis nula , pues en este caso se conoce la probabilidad de haber cometido un error. En funcin de esto, se deber decidir cul de las hiptesis debe ser la nula y cul la alternativa, como tambin cul debe ser el nivel de significacin.

CASOS PARTICULARES DE PRUEBAS DE HIPTESISPrueba de hiptesis de la media en poblaciones normales

Sea ( X1 , X2 , ... , Xn ) una muestra aleatoria extrada de una poblacin normal, luego, i = 1 .. n : X ~ N( , ) . Por lo tanto tenemos que:X1 , X2 , ... , Xn iid N( , ).

,

H0 : = 0vsH1 : 0

Si la hiptesis nula H0 es verdadera, entonces = 0 y por lo tanto

Como la prueba es bilateral, se rechazar la hiptesis nula tanto como cuando se tenga evidencia de que la media poblacional sea mayor que el valor postulado como cuando se tenga evidencia de que sea menor que el valor postulado. Luego, se calculan dos valores crticos (zc1 y zc2) para la variable pivotal o estadstico de prueba, que son los valores de la distribucin Normal que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente: zc1 es tal que ( zc1) = y zc2 es tal que ( zc2) = 1-

Se estandariza el valor observado de la media muestral del cual depender la decisin : si zo > zc2 zo < zc1Se rechaza H0 si zc1 < zo < zc2No se rechaza H0

Prueba de hiptesis de comparacin de medias de dos poblaciones normales independientes.

Sean ( X1 , X2 , ... , Xn ) y ( Y1 , Y2 , ... , Ym ) dos muestras aleatorias extradas de poblaciones normales, luego:

i = 1 .. n : Xi ~ N(x, x ) j = 1 .. m : Yj ~ N(y, y ).

Por lo tanto tenemos que

Entonces

H0 : x = yvsH1 : x y

Si la hiptesis nula H0 es verdadera, entonces x = y y por lo tanto

Como la prueba es bilateral, se rechazar la hiptesis nula cuando se tenga evidencia de que las medias poblacionales difieren entre s. Luego, se calculan dos valores crticos (zc1 y zc2) para la variable pivotal o estadstico de prueba, que son los valores de la distribucin Normal que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente: zc1 es tal que (zc1) = y zc2 es tal que (zc2) = 1-

Se estandariza el valor observado de la diferencia entre las medias muestralesdel cual depender la decisin : si zo > zc2 zo < zc1Se rechaza H0 si zc1 < zo < zc2No se rechaza H0

Prueba de hiptesis de la proporcin

Sean X1 , X2 , ... , Xn iid Bi ( p ) . A travs de las propiedades de la Funcin Generatriz de Momentos se demuestra que :X = Xi ~ B ( n , p ) .

Para n suficientemente grande, la variable binomial se distribuye aproximadamente normal ,

aproximadamente : X ~ N( n.p , ) .

De donde se deduce que la proporcin muestral tambin tiene una distribucin aproximadamente normal :

,H0 : p = p0vsH1 : p p0

Si la hiptesis nula H0 es verdadera, entonces p = p0 y por lo tanto Como la prueba es bilateral, se rechazar la hiptesis nula tanto como cuando se tenga evidencia de que la proporcin poblacional sea mayor que el valor postulado como cuando se tenga evidencia de que sea menor que el valor postulado. Luego, se calculan dos valores crticos (zc1 y zc2) para la variable pivotal o estadstico de prueba, que son los valores de la distribucin Normal que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente: zc1 es tal que (zc1) = y zc2 es tal que (zc2) = 1-

Se estandariza el valor observado de la proporcin muestral del cual depender la decisin : si zo > zc2 zo < zc1Se rechaza H0si zc1 < zo < zc2No se rechaza H0Prueba de hiptesis de comparacin de proporciones de dos poblaciones independientes

X1 , X2 , ... , Xniid Bi(p1)Y1 , Y2 , ... , Ymiid Bi(p2)con Xi independiente de Yj i j

Sean Luego, h1 y h2 son independientes y se distribuyen aproximadamente :

H0 : p1 = p2vsH1 : p1 p2

Si la hiptesis nula H0 es verdadera, entonces p1 = p2

donde es la proporcin de xitos (total) .

Como la prueba es bilateral, se rechazar la hiptesis nula cuando se tenga evidencia de que las proporciones poblacionales sean diferentes. Luego, se calculan dos valores crticos (zc1 y zc2) para la variable pivotal o estadstico de prueba, que son los valores de la distribucin Normal que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente: zc1 es tal que ( zc1) = y zc2 es tal que ( zc2) = 1- Se estandariza el valor observado de la diferencia entre las proporciones muestrales

del cual depender la decisin :

si zo > zc2 zo < zc1Se rechaza H0 si zc1 < zo < zc2No se rechaza H0

Prueba de hiptesis de la variancia en poblaciones normales

Sean X1 , X2 , ... , Xniid N( , )

Entonces :

La variancia muestral est definida como de donde se obtiene que

H0 : 2 = 20vsH1 : 2 20

Si la hiptesis nula H0 es verdadera, entonces 2 = 20 y por lo tanto

Como la prueba es bilateral, se rechazar la hiptesis nula tanto como cuando se tenga evidencia de que la variancia poblacional sea mayor que el valor postulado como cuando se tenga evidencia de que sea menor que el valor postulado. Luego, se calculan dos valores crticos (2c1 y 2c2) para la variable pivotal o estadstico de prueba, que son los valores de la distribucin 2n-1 que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente : 2c1 es tal que P(2n-1 < 2c1) = y 2c2 es tal que P(2n-1 > 2c2) = .

Se calcula el valor observado de la estadstica de prueba o variable pivotal que relaciona la variancia muestral con la poblacional del cual depender la decisin : si 2o > 2c2 2o < 2c1Se rechaza H0si 2c1 < 2o < 2c2No se rechaza H0

Prueba de hiptesis de comparacin de variancias de poblaciones normales independientes

X1 , X2 , ... , Xn iid N(x, x) , Y1 , Y2 , ... , Ym iid N(y, y) con Xi independiente de Yj

que por ser independientes resulta que el cociente :

H0 : 2x = 2yvsH1 : 2x 2y

Si la hiptesis nula H0 es verdadera, entonces 2x = 2y y por lo tanto Como la prueba es bilateral, se rechazar la hiptesis nula cuando se tenga evidencia de que las variancias poblacionales difieren entre s. Luego, se calculan dos valores crticos (Fc1 y Fc2) para la variable pivotal o estadstico de prueba, que son los valores de la distribucin F-Snedecor con n-1 y m-1 grados de libertad, que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente Fc1 es tal que P(Fn-1;m-1< Fc1) = y Fc2 es tal que P(Fn-1;m-1> Fc2) = .

Se calcula el valor observado de la estadstica de prueba o variable pivotal del cociente de las variancias muestralesdel cual depender la decisin : si Fo > Fc2 Fo < Fc1Se rechaza H0si Fc1 < Fo < Fc2No se rechaza H0

Prueba de hiptesis de la media en poblaciones normales con variancia desconocida.

Sean (X1 , X2 , ... , Xn ) una muestra aleatoria extrada de una poblacin normal, luego i=1,.,n Xi ~ N( , ).Por lo tanto tenemos que X1 , X2 , ... , Xn iid N( , ). de donde se deduce que:

y

Como y S2(x) son independientes, lo son tambin , de distribucin normal y chi cuadrado respectivamente. Luego, realizando el cociente entre ellas, obtenemos :

H0 : = 0vsH1 : 0

Si la hiptesis nula H0 es verdadera, entonces = 0 y por lo tanto

Como la prueba es bilateral, se rechazar la hiptesis nula cuando se tenga evidencia de que la media poblacional sea mayor que el valor postulado como cuando se tenga evidencia de que sea menor que el valor postulado. Luego, se calculan dos valores crticos (tc1 y tc2) para la variable pivotal o estadstico de prueba, que son los valores de la distribucin t-Student con n-1 grados de libertad que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente: tc1 es tal que P(tn-1 < tc1) = y tc2 es tal que P(tn-1 > tc2) = .

Se estandariza el valor observado de la media muestral del cual depender la decisin : si to > tc2 to < tc1Se rechaza H0 si tc1 < to < tc2No se rechaza H0

Nota: Para tamaos grandes de muestra, esta distribucin tiende a la distribucin normal con parmetros =0 y =1 .

Prueba de hiptesis de comparacin de medias de dos poblaciones normales independientes, con variancias desconocidas pero supuestamente iguales.

Sean (X1 , X2 , ... , Xn ) y (Y1 , Y2 , ... , Ym ) dos muestras aleatorias extradas de poblaciones normales independientes con igual variancia . Entonces luego , i=1..n , Xi ~ N(x, ) y i=1..m , Yj ~ N(y, ).Por lo tanto tenemos queX1, X2, ... , Xn iid N(x, ); Y1, Y2, ... , Ymiid N(y, ). con Xi independiente de Yj

De la distribucin normal de las variables X e Y, se deduce que:

como tambin

que por ser independientes:

Luego, realizando el cociente, obtenemos:

donde es el estimador de la variancia comn 2, y lo simbolizaremos con S2A

H0 : x = yvsH1 : x y

Si la hiptesis nula H0 es verdadera, entonces x = y y por lo tanto

o bien

Como la prueba es bilateral, se rechazar la hiptesis nula cuando se tenga evidencia de que las medias poblacionales sean diferentes. Luego, se calculan dos valores crticos (tc1 y tc2) para la variable pivotal o estadstico de prueba, que son los valores de la distribucin t-Student con n+m-2 grados de libertad que dejan una probabilidad de por debajo y por encima respectivamente : tc1 es tal que P(tn+m-2 < tc1) = y tc2 es tal que P(tn+m-2 > tc2) = .

Se estandariza el valor observado de la diferencia entre las medias muestrales del cual depender la decisin : si to > tc2 to < tc1Se rechaza H0 si tc1 < to < tc2No se rechaza H0

Nota: Para tamaos grandes de muestra, esta distribucin tiende a la distribucin normal con parmetros =0 y =1 .

1Mg. Miguel Angel Macetas Hernndez