Estadística Básica Aplicada-FL

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CIRO MARTINEZ BENCARDINO

Nacido en Convencin (Norte de Santander - Colombia). Economista de la Universidad Jorge Tadeo Lozano de Bogot, D.C. Bio-estadstica (Universidad de los Andes, Bogot, D.C.). Tcnicas Estadsticas (CIENES-Santiago de Chile) y Estadstica Laboral (Universidad de Ro Piedras y Negociado Laboral de Puerto Rico).

Vinculado a la enseanza de la Estadstica en un gran nmero de instituciones universitarias de Bogot. Durante muchos aos ha trabajado en el campo de la estadstica, ocupando diferentes cargos gubernamentales.

Entre sus publicaciones destacamos: Estadstica comercial; Muestreo, algunos mtodos y sus aplicaciones prcticas; Estadstica Bsica Aplicada; libros editados por Ecoe Ediciones.

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EstadsticaBsica Aplicada

CIRO

MAR

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NCAR

DINO

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Coleccin: Ciencias Exactasrea: Estadstica

Primera edicin: Bogot, D.C., enero de 2000Segunda edicin: Bogot, D.C., marzo de 2001Reimpresin: Bogot, D.C., marzo de 2002, 2003 y 2004Reimpresin: Bogot, D.C., agosto de 2006 y enero de 2007Tercera edicin: Bogot, D.C., mayo de 2007Reimpresin: Bogot, D.C., marzo de 2008 y de 2009Reimpresin: Bogot, D.C., marzo de 2010Cuarta edicin: Bogot, D.C., 2012Reimpresin: Bogot, D.C., 2012

ISBN 978-958-648-766-5

Ciro Martnez BencardinoE-mail: [email protected]

Ecoe Ediciones Ltda.E-mail: [email protected] -www.ecoeediciones.comCra. 19 No. 63 C 32 Te.: 2481449 - Fax: 3461741

Coordinacin editorial: Alexander Acosta QuinteroAutoedicin: Anglica Garca ReyesCartula: Edwin Nelson Penagos PalacioImpresin: Imagen Editorial ImpresoresE-mail:[email protected]

Impreso y hecho en Colombia

Matnez Bencardino, CiroEstadstica bsica aplicada / CIro Martinez Bencardino -- 4. Ed. --

Bogot: Ecoe Ediciones, 20114 p. - (Ciencias exactas. Estadstica)Incluye bibliografaISBN 978-958-648-766-51. Estadstica matemtica 2. Estadstica - Problemas, ejercicios, etc.

3. Muestreo (Estadstica) I. Ttulo II. Serie

CDD: 519.53 ED. 20 CO-BoBN- a798458

CEP-Banco de la Repblica-Biblioteca Luis ngel Arango

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Con cario lo dedicoa mis padres, esposa

hijos y nietos.

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Tabla de contenido

Prlogo ................................................................................................................... XV

Captulo 1. Generalidades .................................................................................... 1Objetivos .................................................................................................................... 1Contenido................................................................................................................... 1Introduccin ............................................................................................................... 1Algunos conceptos necesarios ................................................................................... 2Finalidad de la estadstica .......................................................................................... 5Colectivos investigados por la estadstica.................................................................. 7Resumen de captulo ................................................................................................. 8Trminos para recordar .............................................................................................. 9Ejercicios propuestos ................................................................................................. 9Cuestionario de evaluacin ........................................................................................ 10

Captulo 2. Investigacin estadstica .................................................................... 13Objetivos .................................................................................................................... 13Contenido................................................................................................................... 13Clases de investigacin .............................................................................................. 13Etapas de una investigacin ....................................................................................... 14Planeamiento.............................................................................................................. 14Objetivos de la investigacin ..................................................................................... 15Unidad de investigacin............................................................................................. 15Clase de estudio ......................................................................................................... 15Examen de la documentacin y metodologa ............................................................ 16Mtodo de observacin .............................................................................................. 16Muestreo .................................................................................................................... 16Muestreo probabilstico ............................................................................................. 16Muestreo no probabilstico ........................................................................................ 18Proceso de recoleccin............................................................................................... 18Preparacin del presupuesto ...................................................................................... 19Calendario de trabajo ................................................................................................. 20Preparacin del cuestionario ...................................................................................... 21

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CIRO MARTNEZ BENCARDINOVIII

Seleccin y preparacin del personal......................................................................... 23Preparacin y actualizacin de listas de informantes ................................................ 24Otros aspectos ........................................................................................................... 25Recoleccin................................................................................................................ 25Procesamiento de anlisis .......................................................................................... 26 ......................................................................................................... 26

Tabulacin ............................................................................................................ 26Anlisis e interpretacin....................................................................................... 27Informe................................................................................................................. 27Publicacin ........................................................................................................... 29

Resumen del captulo................................................................................................. 29Trminos para recordar .............................................................................................. 30Ejercicios propuestos ................................................................................................. 31

Captulo 3. Sumatorias y productorias ................................................................ 33Sumatoria simple ....................................................................................................... 33Propiedades de la sumatoria....................................................................................... 35Frmulas especiales sobre sumatorias ....................................................................... 36Productoria................................................................................................................. 36Propiedades de la productoria.................................................................................... 37Resumen del capitulo................................................................................................. 37Ejercicios propuestos ................................................................................................. 38

Captulo 4. Elaboracin de tablas o cuadros ....................................................... 39Objetivos .................................................................................................................... 39Contenido................................................................................................................... 39Caracteres................................................................................................................... 39Tcnica empleada en la elaboracin de un cuadro..................................................... 42Distribuciones de frecuencias .................................................................................... 45Atributos .................................................................................................................... 45Variables..................................................................................................................... 46Variable continua ....................................................................................................... 51Ejercicios.................................................................................................................... 56Propiedades de las frecuencias................................................................................... 58Resumen del captulo................................................................................................. 59Trminos para recordar .............................................................................................. 59Ejercicios propuestos ................................................................................................. 59Cuestionario de evaluacin ........................................................................................ 62

..................................................................... 65Objetivos .................................................................................................................... 65Contenido................................................................................................................... 65Introduccin ............................................................................................................... 65 ....................................................................... 66 ........................................................................................................ 66Diagrama de frecuencias............................................................................................ 67

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TABLA DE CONTENIDO IX

Histograma de frecuencias......................................................................................... 68Polgono de frecuencias ............................................................................................. 71Ojiva........................................................................................................................... 71Pictograma ................................................................................................................. 72Cartograma................................................................................................................. 74Diagramas de barras................................................................................................... 75Diagrama circular....................................................................................................... 77Diagramas lineales ..................................................................................................... 79Cuadrados y tringulos .............................................................................................. 81 ......................................................................................................... 83Pirmides.................................................................................................................... 84 ............................................................................................................. 84Resumen del captulo................................................................................................. 85Trminos para recordar .............................................................................................. 85Ejercicios propuestos ................................................................................................. 85Cuestionario de evaluacin ........................................................................................ 86

Captulo 6. Medidas de tendencia central ............................................................ 89Objetivos .................................................................................................................... 89Contenido................................................................................................................... 89Introduccin ............................................................................................................... 89Medidas de posicin .................................................................................................. 90Media aritmtica ........................................................................................................ 90Media aritmtica (simple) .......................................................................................... 91Media aritmtica ponderada....................................................................................... 93Mtodos indirectos..................................................................................................... 100Propiedades de la media............................................................................................. 101Mediana (Me) ............................................................................................................. 107Datos no agrupados.................................................................................................... 108Datos agrupados......................................................................................................... 109Variable discreta......................................................................................................... 109Variable continua ....................................................................................................... 110La moda (Md) ............................................................................................................. 111Aplicacin de estadstica en la herramienta Excel..................................................... 113Operaciones en la hoja de clculo.............................................................................. 113 ............................................................ 115Elaboracin de tablas de frecuencia........................................................................... 117Elaboracin de una tabla de frecuencias relativas ..................................................... 123 ............................................................................................... 125Procedimiento para obtener resultados en la aplicacin de medidas......................... 128Resumen del captulo................................................................................................. 129Trminos para recordar .............................................................................................. 130Ejercicios propuestos ................................................................................................. 132Cuestionario de evaluacin ........................................................................................ 135

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CIRO MARTNEZ BENCARDINOX

Captulo 7. Medidas de tendencia central (continuacin) .................................. 137Media cuadrtica (M2)................................................................................................ 137Media geomtrica (Mg) .............................................................................................. 139Media armnica (M1)................................................................................................ 142Cuartiles, deciles y percentiles................................................................................... 147Cuartiles ..................................................................................................................... 147Datos sin agrupar ....................................................................................................... 147Datos agrupados......................................................................................................... 147Deciles........................................................................................................................ 148Datos sin agrupar ....................................................................................................... 148Datos agrupados......................................................................................................... 149Centil o percentil........................................................................................................ 149Datos sin agrupar ....................................................................................................... 149Datos agrupados......................................................................................................... 150Tercer cuartil (Q3) ...................................................................................................... 150Cuarto decil (D4) ........................................................................................................ 151Percentil sesenta (P60)................................................................................................. 151Centro recorrido ......................................................................................................... 151Aplicacin de la estadstica utilizando la calculadora ............................................... 152Aplicacin de estadstica en la herramienta Excel..................................................... 155Primer procedimiento ................................................................................................ 155Segundo procedimiento ............................................................................................. 160Media aritmtica ........................................................................................................ 160Mediana (Me) ............................................................................................................. 162Modo = Moda = Valor modal (Md) ............................................................................ 163Media geomtrica (Mg = Mo) ..................................................................................... 164Media aritmtica ponderada....................................................................................... 164Resumen del captulo................................................................................................. 165Trminos para recordar .............................................................................................. 166Ejercicios propuestos ................................................................................................. 168

Captulo 8. Medidas de dispersin, asimetra y apuntamiento .......................... 171Objetivos .................................................................................................................... 171Contenido................................................................................................................... 171Medidas de dispersin................................................................................................ 171La Oscilacin ............................................................................................................. 172Varianza (S2) .............................................................................................................. 173Otro mtodo de clculo.............................................................................................. 174Mtodos abreviados ................................................................................................... 175Propiedades de la varianza......................................................................................... 178Desviacin tpica o estndar (S) ................................................................................ 180Uso de la calculadora ................................................................................................. 184Aplicacin de estadstica en la herramienta Excel..................................................... 184Desviacin tpica estndar s = ................................................................................ 185 ................................................................................... 186Puntaje tpico estandarizado (Z) ................................................................................ 187

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TABLA DE CONTENIDO XI

Desviacin media (Da) .............................................................................................. 189Desviacin mediana (De)........................................................................................... 191Recorrido intercuartlico, desviacin cuartil y recorrido interdecil ........................... 193!..................................................................... 195Momentos unidimensionales ..................................................................................... 196Momentos respecto a la variable................................................................................ 196Momento respecto a la media aritmtica ................................................................... 196Momento respecto a un origen de trabajo.................................................................. 196Asimetra.................................................................................................................... 198Apuntamiento o curtosis ............................................................................................ 200Resumen del captulo................................................................................................. 201Trminos para recordar .............................................................................................. 201Ejercicios propuestos ................................................................................................. 203Ejercicios de evaluacin ............................................................................................ 206

Captulo 9. Regresin y correlacin .................................................................... 209Objetivos .................................................................................................................... 209Contenido................................................................................................................... 209Introduccin ............................................................................................................... 209Regresin ................................................................................................................... 213Regresin rectilnea simple........................................................................................ 213Procedimiento abreviado del clculo ......................................................................... 216Clculo del error estndar de estimacin ................................................................... 217.......................................................................................... 219Clculo de la regresin de X en funcin de Y (utilizando la calculadora)................. 220Clculo mediante el uso de la calculadora................................................................. 223Regresin rectilnea ponderada.................................................................................. 234......................................................................... 238Resumen del captulo................................................................................................. 239Trminos para recordar .............................................................................................. 240Ejercicios propuestos ................................................................................................. 242Cuestionario de evaluacin ........................................................................................ 244

Captulo 10. Series cronolgicas ........................................................................... 247Objetivos .................................................................................................................... 247Contenidos ................................................................................................................. 247Introduccin ............................................................................................................... 247Tendencia ................................................................................................................... 249Ajuste rectilneo ......................................................................................................... 249Mtodo de los mnimos cuadrados ............................................................................ 254Varianza residual y error estndar.............................................................................. 259.......................................................................................... 260Aplicacin de estadstica en la herramienta Excel..................................................... 264Ajuste parablico ....................................................................................................... 267Ajuste exponencial..................................................................................................... 272Otro procedimiento .................................................................................................... 276

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CIRO MARTNEZ BENCARDINOXII

Resumen del captulo................................................................................................. 277Trminos para recordar .............................................................................................. 278Ejercicios propuestos ................................................................................................. 280Cuestionario de evaluacin ........................................................................................ 282

Captulo 11. Nmeros ndices ................................................................................ 285Objetivos .................................................................................................................... 285Contenido................................................................................................................... 285Introduccin ............................................................................................................... 285ndices simples........................................................................................................... 286ndices eslabonados ................................................................................................... 289ndices agregativos simples ....................................................................................... 290ndices compuestos .................................................................................................... 292Exmenes de frmulas ............................................................................................... 295ndice de valor............................................................................................................ 296Empalme de una serie ................................................................................................ 297Uso de los nmeros ndices........................................................................................ 298Clculo del salario y del ingreso real......................................................................... 298Poder de compra ........................................................................................................ 300Porcentaje de Desvalorizacin................................................................................... 300Porcentaje de Devaluacin......................................................................................... 301ndice de produccin y de productividad................................................................... 302ndice relacin de precios de intercambio (IRPI) ...................................................... 303Proporciones, porcentajes, razones y tasas ................................................................ 305Resumen del captulo................................................................................................. 309Trminos para recordar .............................................................................................. 309Ejercicios propuestos ................................................................................................. 310Cuestionario de evaluacin ........................................................................................ 313

Captulo 12. Inferencia estadstica ....................................................................... 317Objetivos .................................................................................................................... 317Contenido................................................................................................................... 317Elementos del clculo de probabilidades................................................................... 317Probabilidad elemental............................................................................................... 317Algunos conceptos bsicos ........................................................................................ 318Probabilidad ............................................................................................................... 319Permutaciones, variaciones y combinaciones............................................................ 320Leyes o reglas de probabilidad .................................................................................. 321Distribuciones de probabilidad .................................................................................. 328Distribucin binomial ................................................................................................ 329Distribucin normal ................................................................................................... 332"#$ .................................................................................................. 334Pruebas de hiptesis................................................................................................... 337Distribucin de Ji cuadrado x2 ................................................................................... 340

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TABLA DE CONTENIDO XIII

Captulo 13. Aplicacin de algunas tcnicas de muestreo .................................. 343Generalidades............................................................................................................. 343Determinacin del tamao de la muestra (MAS) ...................................................... 346Mtodo de muestreo aleatorio.................................................................................... 348%%&'&*& ................................................................. 350Diseo de muestreo.................................................................................................... 352Aplicacin en el muestreo aleatorio simple ............................................................... 354'......................................................... 356Estimador puntual y por intervalos ............................................................................ 360Aplicacin en el Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.).............................................. 360' ...................................................... 363

Respuestas a los ejercicios propuestos y algunos cuestionarios de evaluacin . 367

ApndiceTabla I Nmeros al azar ....................................................................................... 379Tabla II De una distribucin normal ordinaria ...................................................... 382Tabla III Distribucin t de Student ................................................................... 383Tabla IV Exponencial y logaritmos ........................................................................ 384Tabla V Distribucin de Ji cuadrado ( 2 ) ............................................................. 385

ndice temtico ....................................................................................................... 387Bibliografa ............................................................................................................. 389

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PrlogoLa estadstica es una disciplina aplicada en todos los campos de la actividad humana.

De ah que se tenga como asignatura indispensable en casi todos los programas, desde niveles medio vocacional hasta posgrado.

En el mundo de los negocios su empleo, hoy en da, es considerado de gran importan-cia, ya que suministra los mejores instrumentos de investigacin, no slo para observar y recopilar toda una gama informativa incubada dentro de la misma empresa o fuera de ella, sino tambin en el control de ciertas actividades de produccin, ventas, proyecciones o estimaciones a corto, mediano y largo plazo, en la formulacin de hiptesis y en el anlisis de procesos encaminado a facilitar la toma de decisiones por parte de los encargados de la buena marcha de la empresa.

La obra presenta temas de estadstica descriptiva: preparacin de una investigacin;

+???cuadrtica, geomtrica y armnica); medidas de dispersin (varianza, desviacin tpica, ?K#

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GeneralidadesCap

tulo

Cap

tulo

GeneralidadesObjetivos

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Contenido

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INTRODUCCIN

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Produccin. *#[+?>&*+?-+?+>$&

Finanzas.*kW_?$?-+&

Contabilidad.!#?+k>_??+`?&

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CIRO MARTNEZ BENCARDINO2

Personal.*W[?K?K?~????_#?_+#&

Mercados."#_+$-&

ALGUNOS CONCEPTOS NECESARIOS

Estadstica&^K>???+???+$&

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CAPTULO 1. GENERALIDADES 3

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*[[k?##?caractersticas&

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ELEMENTOS CARACTERSTICAS

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Estadstico.*kK+#&*[[[W>estadgrafokK#?[>medida&

Estadsticas&^

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Estadsticas primarias. ^k+?$?+$#&^>?kk-__&

Estadsticas secundarias.*>??&^ _?$k&

Estadsticas temporales.!series de tiempo o series cronolgicas&^ +_?-}#??&???#atemporales.

Clases de estadsticas.^


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Parmetros.^ kk>#poblacin&>valor verdadero?+k#?$?&&^ ?#+??&

Estimadores. " > # muestra?estimador o estadgrafo&!MW+#?>??_?$

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FINALIDAD DE LA ESTADSTICA

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Determinar lo tpico o normal de esa observacin. #_?promedio?>_-_?#&^ kpromedio de #A??$_&?_


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COLECTIVOS INVESTIGADOS POR LA ESTADSTICA

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Distinta frecuencia.^ $>?k__?+k[?##??#`&^__?k#?$+_#&

Manifestarse al exterior.*?+[??_k&?k`#&

Distantes en el tiempo."#??K?##?#?_k#&?>_[+

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RESUMEN DEL CAPTULO

a la tcnica de recoleccin, procesamiento y anlisis del dato; la segunda, corresponde

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La estadstica cumple dos funciones: a) la de anlisis descriptivo en forma cuantita-tiva de las caractersticas observadas en el fenmeno, y b) la inferencia estadstica o induccin, logrndose generalizaciones para un grupo mayor denominado poblacin, partiendo de un grupo menor o muestra.Se da una serie de trminos estadsticos que deben conocerse para un buen desarrollo del curso de estadstica, entre otros: poblacin, muestra, variables y atributos.

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"permita: a) tener una visin general de la empresa en su conjunto, para que la admi-nistracin pueda formular directrices con pleno conocimiento de causa; b) descubrir las relaciones de causa a efecto en las diversas manifestaciones econmicas de la empresa; c) reconocer y separar, en vista del control, lo normal y anormal, observando

#!$%obtener una mayor orientacin a la actividad de la empresa. Por ltimo, se establecen las condiciones que deben presentar los fenmenos para que sean considerados o estudiados dentro del campo de la estadstica.

Trminos para recordar

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Ejercicios propuestos

AtributosCaractersticasCaractersticas cualitativasCaracterstica cuantitativasElemento o unidadErrorEstimadorEstimador puntualEstimador por intervalosEstadsticas temporalesEstadsticas internasEstadstica

Estadsticas externasEstadsticasEstadgrafoEstadsticoEstadstica descriptivaEstadstica analticaEstadsticas primariasEstadsticas secundariasFenmeno o hechoInferenciaMarcoMuestra

Muestra probabilsticaMuestra aleatoriaParmetro&&Poblacin o universoSorteoSeleccin sistemticaVariable

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Cuestionario de evaluacin

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CLASES DE INVESTIGACIN

La investigacin estadstica, por sencilla que sea, es una operacin com-pleja, que requiere atender mltiples aspectos, y que genera muy variadas funciones.

*k?$de los fenmenos que se desean estudiar y de la facilidad que se tenga para observar los elementos.

Investigacin interna. Dentro de la misma empresa se originan una serie de fenmenos, tales como datos registrados por el departamento de contabilidad, k$_k_+con perodos anteriores. En el caso de las ventas, las cifras obtenidas y ordenadas k&

Contenido Clases de investigacin Etapas en una investigacin: Planeacin, Recoleccin,

+'&

Investigacin estadsticaInvestigacin estadstica

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Investigacin externa."$-$??Kinvestigacin es establecer la posicin relativa de la empresa en el mercado, y en especial conocer la tendencia de los consumidores, el comportamiento actual o futuro en relacin con la calidad, precio, propaganda, modelos, etc.

*`+?obtener la informacin necesaria que no se da en la investigacin interna.

Investigacin exhaustiva. Se denomina as a aquella investigacin donde se observan todos los elementos que constituyen la poblacin objetivo. Si furamos a investigar todos [`?#&^?_[$de la misma ciudad, o a los hogares de un barrio. Como se ve, la poblacin la constituyen todas aquellas unidades objeto de estudio.

Por lo general, toda investigacin que no sea exhaustiva es parcial y esta limitacin

_K+&

Investigacin parcial.^ $exhaustiva y slo se observa una parte de los elementos o unidades que constituyen la K?muestra. Con la muestra, el objetivo no consiste en examinarla, sino en estudiar la poblacin a travs de ella. La seleccin de un grupo de establecimientos comerciales al por menor, el de un grupo de hogares en un barrio, en una $??+poblacin,son ejemplos de muestras.

ETAPAS EN UNA INVESTIGACIN

^k#K_kk++que por lo general, se encuentran dispersas, y en forma desordenada. Se pueden conside-rar tres clases de operaciones o etapas en una investigacin: planeamiento, recoleccin,procesamiento y anlisis.

Planeamiento'$?+$

K+$K&!de la etapa de planeamientok+$&

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CAPTULO 2. INVESTIGACIN ESTADSTICA 15

Objeto de la investigacin'k?[

+k?formulando el problema en tal forma que objetivos generales y los y, de ser posible, una jerarquizacin de los mismos.

En esta fase se deben contestar los siguientes interrogantes:a) Qu se va a investigar?b) Cmo$^+>

$&c) Cundo$*k[&d) Dnde$*?$[&

Kk?k>k?_?[-servacin, nmero de cuestionarios, tiempo y costo de la investigacin, etc.

Unidad de investigacinLa unidad es la fuente de informacin, es decir, a quin va dirigida la investigacin,

la cual puede ser una persona, una familia, una vivienda, un establecimiento comercial, industrial o de servicio pblico, una explotacin agrcola o ganadera, y su determinacin depende del objeto de la investigacin.

La unidad debe ser clara?_k


Examen de la documentacin y metodologa*[$?

k??va a estudiar la poblacin en su totalidad o slo una parte de ella.

En el primer caso lo hemos denominado investigacin exhaustiva, enumeracin completa o censo, y, en el segundo, muestra. La eleccin de uno de los mtodos, censoo muestra, depende entre otros factores, de:

- Tiempo disponible- Recursos humanos

- Finalidad de la investigacin- Nmero de unidades que componen la poblacin.- Caractersticas a investigar- Si el elemento seleccionado se puede destruir en el proceso de medicin o control de la caracterstica- El grado de variabilidad

Muestreo+#?$??+$+

Wk&[+>?}

- Grado de precisin requerida para los estimadores- Tamao de muestra- Costo y tiempo

Muestreo probabilsticoDentro del mtodo de muestreo probabilstico, muestreo aleatorio o al azar, se usan

entre otros, los siguientes tres procedimientos:

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Muestreo aleatorio simple. Este mtodo permite que la seleccin de todos los elementos que constituyen la poblacin tengan la misma posibilidad de ser incluidos en la muestra. Cada elemento que constituye la muestra puede haber sido seleccionado una $? k?extracciones sin reposicin


igual al valor obtenido al dividir el tamao de la poblacin por el de la muestra. Luego se toma aleatoriamente una observacin. Supongamos que entre el 01 y 10 se seleccion +???+as sucesivamente.

Muestreo no probabilsticoEn el muestreo no probabilstico se toma la muestra de cualquier tamao y los ele-

mentos son seleccionados de acuerdo con la opinin o juicio que tenga el investigador sobre la poblacin. En el caso de una poblacin homognea, la representatividad de tal muestra puede considerarse satisfactoria.

Por lo general, las unidades son seleccionadas caprichosamente, por conveniencia, en forma voluntaria o por cuotas, tal como sucede en las encuestas de opinin?$_&

Por otra parte, en problemas comerciales diarios y en la toma de decisiones que a falta de tiempo no permiten disear mtodos de muestreo probabilstico, hay que recurrir al muestreo no aleatorio, siendo el mtodo dirigido& Proceso de recoleccin

"$correo, entrega personal del cuestionario, en-trevista, panel, observacin directa, motivacin, telfono, otros.

Las encuestas por correo tienen algunas ventajas, tales como las de ser poco costosas, ya que el valor de recoleccin corresponde al valor del envo y retorno del cuestionario. ?_??las instrucciones son precisas. Ahora bien, si el servicio es bueno, la recoleccin se hace &

Las ventajas en el uso del correo, son las mismas que las establecidas en la entrega personal?`#&

Ambos procesos de recoleccin presentan casi las mismas desventajas: extravo del cuestionario, la no devolucin, falta de contestacin a determinadas preguntas, demora en la devolucin, uso de abreviaturas, mala letra, preguntas mal respondidas, etc.

La entrevista es un buen proceso de recoleccin, ya que permite recoger el mayor n-mero de cuestionarios, se obtienen respuestas a todas las preguntas, se aclaran las dudas _?[


la composicin del cuadrok_#?comprador, si lo adquiri o no, o si consigui algo distinto.

La observacin puede ser directa como su nombre lo indica, la recoleccin de los datos se hace observando directamente el hecho.

Es indirecta cuando la tarea de recoleccin consiste en corroborar los datos que otros han observado.

En la encuesta por motivacin, el entrevistador pregunta libremente sin estar sometido $_?`k&'k#?k`&*proceso es costoso, requiere demasiado tiempo y no se pueden hacer cmputos, por la $&

La encuesta por telfono se emplea de preferencia para estudios de radio y televisin, cuando se requiere determinar la sintona en el momento de comunicar, y las preguntas [k[&*$directorio telefnico para seleccionar los informantes, lo que es desventajoso, pues se ex-cluye a aquellos que no tienen dicho servicio. El proceso consiste en exponer brevemente

K?+_del cuestionario, que deben ser pocas, cortas, claras y precisas.

Preparacin del presupuesto$>?

k$&

En la elaboracin del presupuesto deben tenerse en cuenta las diferentes etapas de &"kelaborar el presupuesto:

Organizacin:- Estudios preliminares - Asesoras- Trabajos experimentales

K- Propaganda

- Impresin de los formularios - Capacitacin de personal - Contratacin de servicios auxiliares- Uso de equipo, computadores, papelera, etc.- Locales.

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- Recoleccin- Transporte

Trabajos de campo: Tabulacin o procesamiento Publicacin

Calendario de trabajoSe trata de un ordenamiento de las diferentes etapas involucradas en la investigacin,

_[+?fase, procurando que se cumpla dentro del tiempo establecido. Tambin es una forma de determinar el tiempo total de la investigacin.

"_K&*&+&K&

"&_+k&^ denomina !(+k

#?kde ejecucin. Puede verse que los estudios preliminares se han ejecutado en su totalidad, ?[$&

Tabla 2.1

ETAPASFECHAS

Inicial Final&* { {{

& { {{ &*` {{ {{

4. Recoleccin 30 - VII 18 - VIII5. Tabulacin 15 - VIII 10 - IX6. Publicacin 15 - IX 30 - IX

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Preparacin del cuestionarioEn la elaboracin del cuestionario o formulario se deben considerar dos aspectos:

1. Aspectos materiales- Tamao del formulario?kk

manejo y archivo.- La calidad del papelk$?

recoleccin, del tipo de impresin y otros aspectos.- El color de la tinta y del papel no debe molestar la vista de la persona que lo va a

?&- Tipo de impresin a emplear

&Aspectos tcnicos- Incluir nicamente las preguntas indispensables.- Las preguntas deben ser claras, concisas y comprensibles para quien las hace y

para quien las responda. "?$_+

_#&- No se deben emplear abreviaturas.- Se deben suprimir las preguntas que, de antemano, se considera no van a ser con-

testadas.- La pregunta debe ser de tal claridad que, siendo formulada en lenguaje corriente,

atienda a la tcnica de investigacin.- Las preguntas deben ser cortas, para que faciliten su retencin.

ETAPASMESES

junio julio agto. sept.1. Estudios preliminares

&

3. Encuesta preliminar4. Recoleccin5. Tabulacin6. Publicacin

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En cuanto a las partes que constituyen un formulario, por lo general, se considera dividido en tres:a) Encabezamiento. En l se incluye: nombre o ttulo de la investigacin, en tal

forma que resuelva los interrogantes: qu, cmo, cundo y dnde


+k>$?}- Preguntas introductivas: que tratan de introducir al informante en el tema de inves-

? _$ K ? + prevencin que pudo haberse formado con respecto a la entrevista.

- Preguntas en batera: serie de preguntas encadenadas y complementadas entre s, con

_$>&

c) Instrucciones. Pueden considerarse como parte del cuestionario. Para algunas personas,

>$???kk[#-terminar, entre otras cosas, si las preguntas y las instrucciones fueron correctamente elaboradas, conocer la reaccin de los informantes frente a determinadas preguntas, el +?W?_$con el formulario.

- Seleccin y preparacin del personal*_k+_-

k+&^?experiencia, pero debe capacitarse. Los entrevistadores, a la larga cumplen una etapa im-#??k&"k[+[[W?>k?


- Tratar de seleccionar a personas que tengan ciertas cualidades de sociabilidad, cortesa, presentacin personal correcta y sencilla, que utilicen las palabras, gestos y tono que ?>`&

Los procedimientos de seleccin, en trminos generales, son: a) Pruebas de seleccin,y b) Entrevistas.

a) Las pruebas??[?personalidad, as como habilidades especiales deseables para la clase de inves-$&K?tratara de medir la habilidad para leer mapas.

b) La entrevista personal?_?ofrece la oportunidad de evaluar ciertas caractersticas personales, como: facilidad de expresin, manera de presentarse, actitud hacia el trabajo, etc. Sin embargo, este mtodo no es siempre aplicable si se requiere un nmero grande de candidatos &

Preparacin y actualizacin de listas de informantesSe debe preparar un listado de todas las unidades que componen la poblacin objetivo

+&*[?>+$&?+


Otros aspectosHay otros aspectos no menos importantes que los anteriores y que el investigador, en

muchos casos, no debe ignorar:- Delimitacin del tema. Se debe establecer si el tipo de investigacin es exploratoria,

descriptiva, explicativa o experimental.- Marco terico. Guarda relacin con el anterior. [K#?[&- Formulacin del problema.- Formulacin de hiptesis.RecoleccinTerminada la etapa de planeamiento, se procede a distribuir y a recoger los formula-

rios, controlando el nmero de formularios entregados y recogidos y, al mismo tiempo, _&

"$Kde campo o de recoleccin contempla, entre otros, los siguientes puntos:

- Supervisin- Control de encuestas- Revisin de los cuestionarios inconclusos- Calidad y consistencia de las respuestas

$K- Distribucin de los entrevistadores

Algunos de los errores que se pueden presentar en la recoleccin de datos se clasifican en: *#& *&

- Mal diseo del cuestionario.- Falta de instrucciones o imprecisas.

Pueden presentarse algunos casos que afectan la recoleccin de los datos y que deben ser corregidos:

- El informante no quiere suministrar los datos, alegando estar ocupado, motivos #?$?k?&

- El informante no puede responder por problemas, como, enfermedad, incapacidad fsica, idioma, etc.

- La direccin del informante es errnea, o la unidad existente en el lugar no es elegible.- No hubo contacto con el informante, la familia estaba paseando, demolicin del

??&

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Procesamiento y anlisisLa informacin obtenida debe ser % % *,

>&"}, tabulacin, anlisis e interpretacin, informe y publicacin.-

Cumplido el proceso de revisin de cada una de las respuestas obtenidas, se procede a la ?$&'k_-+??es decir, cada respuesta posible tiene el cdigo impreso en el formulario.

Cdigo es un nmero que sustituye la pregunta, cuando se va hacer el recuento. Por

K?$#+&

Usted es un trabajador Independiente...................1 Asalariado........................2

'[??-?}01 Antioquia, 02'?&&&?32 Valle.

El proceso de revisin del cuestionario se denomina crtica? +-_?k[u omisiones, incluso cuando los formularios han sido diligenciados por encuestadores +kcrtico puede subsanar directa-mente o pidiendo al entrevistador que vuelva a la fuente de informacin o recurriendo a la memoria del mismo.

- Tabulacin?$$+}

!_k$& !Wk_ !+?+k?&

Cuando la tabulacin se acuerda desde el principio, como parte integrante de la pla-neacin general de la investigacin, es de suponer que todo el proceso sea totalmente satisfactorio, lo cual ha sido demostrado por la experiencia.

El procesamiento_$crtica, o despus de la &[_$listados, que deben k&$[[?elaborar los cuadros, con el _ _? !, conclusiones y recomendaciones, si las hay.

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Anlisis e interpretacin*informe?+k

k_K+[$_en forma de cuadros. Con los anteriores resultados se procede luego a hacer un resumen y a la aplicacin de las diferentes medidas, que hemos denominado estadgrafos o estimadores puntuales, cuando son aplicados a las caractersticas de las unidades en la muestra o como parmetros#?medidas de dispersin y los promedios, incluyendo en stos los porcentajes y proporciones.

Con las cifras resultantes, se pueden hacer comparaciones con otros estudios, para poder llegar a mejores conclusiones. De esta ltima fase de la metodologa se puede decir que encierra dos aspectos: '+#& '+>$&

*+los resultados obtenidos de la investigacin.

InformeFinalmente, se llega a la etapa de elaboracin del informe, ya sea para uso interno de

la empresa o para terceros.

"+_?W-gacin y a la culminacin de los trabajos que la misma caus.

A pesar de que el informe constituye un todo indivisible, podemos considerar tres _}introduccin, conclusiones, y apndices.

- Introduccin&*_$K+?K?k?>$


- Conclusiones. Constituye la parte fundamental del informe, ya que en ella aparecen relacionados los resultados obtenidos, la confrontacin con lo esperado, la exposicin de +k>k&*_????+k[comprensible la explicacin y, sobre todo, se deben presentar las recomendaciones.

- Apndice. Integra toda la documentacin que se ha citado en la introduccin y en las ?k+_kinformacin contenida en el informe.

El profesor John W. Best en su libro Cmo investigar en educacin nos da una posible #?}

1. Ttulo:+ ,-+ ,.

-

& *}+ ,"$

- ,- ,"!- ,/!

$-+ ,"-+ ,"-

3. Revisin de la bibliografa relacionada: ,- ,"$

*!- ,!*-

& $} ,"

0- ,0- ,"- ,"- ,"- ,"!- ,"*- ,

-

& '} ,

!- ,

- ,!

- ,"

-

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6. Resumen y conclusiones: ,"

- ,"

- ,"$

*!- ,1

- ,/*1$

*!-

Publicacin_?+[

las personas interesadas el resultado del estudio, teniendo en cuenta todos los aspectos considerados en el proceso, de tal forma que los datos sean comprensibles, con la corres-$&

*>k_} & K& kk& ` #?+ &

Proceso de seleccin de las unidades de informacin y de recoleccin. ^__$?

+K?_+?k&

*_?apndice, donde se +?k_&>-taria al informe.

RESUMEN DEL CAPTULO

En este captulo se quiere resaltar, que no todas las investigaciones requieren ser llevadas a cabo, debido al hecho de que en algunos casos se dispone de informacin, obtenida en investigaciones realizadas con anterioridad, por la misma entidad o por otras. En ocasiones dicha informacin puede ser considerada como complementaria a la nueva investigacin.Una investigacin requiere en la primera etapa ante todo de un planeamiento, que comprenda:- Fijar los objetivos de la investigacin, determinando si el fenmeno puede ser

observado mediante la aplicacin de mtodos estadsticos. - Establecer la unidad o unidades de observacin.- Determinar, si se trata de un censo o de una muestra.- Si la encuesta se va a hacer mediante entrevista, entrega personal del cuestionario,

por correo, telfono, observacin o panel.

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- Elaborar el presupuesto.- Disear el calendario de trabajo.- Disear el formulario e instrucciones.- Seleccionar y capacitar a las personas que van a trabajar en la investigacin.- Hacer una pre-encuesta.A la segunda etapa corresponde:- Distribucin y recoleccin de formularios.- 2

3!- Se debe efectuar un control sobre la calidad de los datos.La tercera y ltima etapa comprende:- Elaboracin de cdigos.- - Elaboracin de cuadros de tabulacin.- Seleccin del proceso de tabulacin, si es manual o mecnico.- !- Anlisis y comparacin de los datos. - Publicacin.Las etapas que requieren una investigacin estadstica, se sintetizan en la Figura 2.1.

Trminos para recordarCuestionario o formulario Muestreo sistemticoEncuesta por panel Marco tericoEntrevista personal Nmeros aleatoriosFormulacin del problema Objetivo de la investigacin

(( &Investigacin descriptiva Preguntas cerradasInvestigacin controlada Preguntas de controlInvestigacin explicativa Preguntas de seleccin mltipleInvestigacin interna Preguntas abiertasInvestigacin exhaustiva o total Preguntas en bateraInvestigacin parcial o muestra Preguntas inductivas

4! &!Muestreo aleatorio simple Seleccin sin reposicinMuestreo probabilstico Seleccin con reposicin

' 50Muestreo no probabilstico Unidad de investigacin o de seleccin

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& ^siguientes observaciones:1.1La investigacin preliminar permite:a) Establecer la hiptesisb) Determinar la muestra

c) Coordinar el personal de campod) Ninguno de los anteriores&' k ?

estadstica requiere:a) Que exista un objetivo. [+$c) Que se tenga un problemad) Ninguno de los anteriores

Figura 2.1. Etapas en una investigacin (resumen)

FormularioFormulario

Listados

Archivo

Formulario

K+Mtodos de investigacin: censo o muestraProceso de recoleccin

Planeamiento PresupuestoFormulario - Lista de informantesCalendario de trabajo - MapasEncuesta preliminar

Distribucin del material Recoleccin Recoleccin + W _

rios y calidad de la informacin

Procesamiento y anlisis

y recuento

Revisin

Anlisis

Publicacin

Ejercicios propuestos

Formulario

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1.3El costo de una encuesta por correo es generalmente:

a) Igual al de una encuesta por medio de entrevistas personales.

b) Mayor al de una encuesta por medio de entrevistas personales

c) Menor al de una encuesta por medio de entrevistas personales

d) Imposible de medir en relacin con el costo de una encuesta por medio de entrevistas personales.

1.4En el diseo del cuestionario las pre-_#}

a) Al principio, para salir inmediata-_#&

b) En el centro para que sean precedi-+_

'? k[+-$&

d) Ninguna de las anteriores.

& _? W caso:a. Cdigo es la representacin cualita-

tiva de un hecho cuantitativo.b. Las instrucciones permiten diligen-

ciar mejor el formulario& _

$&d. Un formulario debe llevar una sola

clase de preguntas.e. La recoleccin de datos se puede

hacer nicamente mediante la ob-servacin directa.

f. Despus de elaborar el formulario se K&

g. Al recolectar informacin por medio de entrevistadores, se tiene la ventaja de que stos pueden observar el sitio &

h. Se conoce como fuente primaria aquella donde se obtuvo inicialmen-te la informacin, directamente a la persona o entidad.

i. Al disear un cuestionario no es de gran importancia la forma como se hace la pregunta, siempre que sta sea clara.

j. No hay posibilidad alguna de que en una encuesta por correo se in-terpreten mal las preguntas de un cuestionario, siempre y cuando la persona que la conteste sepa leer.

k. El examen de la documentacin y metodologa se efecta despus de tabulada la informacin.

3. Se ha dicho que en una investigacin se k?$? _& son? Podra usted reagrupar los ttu-lares de este captulo en un ndice de temas de acuerdo con estas etapas?

4. Mencionar algunos aspectos tcnicos y materiales que deben tenerse en cuenta en el diseo de un formulario.

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SUMATORIA SIMPLE

6

1i

iX

=

Capt

uloCa

ptulo

33 at ias d ct iasat ias

d ct ias

Nos encontramos frecuentemente en estadstica con la suma de un W>&?#[&^ knmeros y se desea sumarlos:

"-$+?

&

Donde a, b, c,...,f,}???&&&?[?k&

W[?_?[#k

i,&'#?} #}

[^ _?sigma (?k

? n trminos. Entonces:

*$i $ i$?`}

1=n

ii donde:

61 3 4 5 6

1i

iX X X X X X X

=

= + + + + +

10 1 18 13 5 65= + + + + + =S

= + + + + +S a b c d e f

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# sumatoriai elemento genrico de la sumatoria#_

"?K?

sumatoria de i 1 hasta n de i En el caso de utili ar a ik

k?#_[#?} 1 2

y la sumatoria sera:

*k# i ^? i toma ?[[????????&*?$ i -?[#}

Cuando la sumatoria tiene el trmino i>?ki toma ?_?#_[&

'#?K?#+_}

ii= = + + + + + =

1

6

1 2 3 4 5 6 21

^?#__}9

55 6 8 9 35

ii

=

= + + + + = ii

= + + + + ==11

8 9 10 11 45

>#>

suma:6

3 4 5 63=

= + + + ii

A A A A A A A A A Aii= = + + +5

3 4 5

*$i#?Kj:6

34

=

= + + + =i

K K K K K K5

3 4 5jj

A A A A A=

= + + + 6 3 4 5 63=

= + + + ii

A A A A A

}4 1 3 4

11 3 4 1 4 56 88i

ii

=

= + + + = + + + =4 1 3 4

14 8 16 30

=

= + + + = + + + = ii

61 3 4 5 6

1i

iX X X X X X X

=

= + + + + +

6

110 1 18 13 5 65i

iX

=

= + + + + + =

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CAPTULO 3. SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS 35

ii 1

4

1 3 4=

= + + +

X X X X Xii=

= + + +[ ]1

4 2

1 2 3 42

Propie a es e la sumatoria'$esta-

dstica?k>+&

- La sumatoria de una constante , desde uno hasta n, es igual a n veces la constante:

1...

=

= + + + + =n

iK K K K K K nK *K} ( )6

34 8

=

= + + + = =i

$k1=

=n

iK nK +k

#_&^__}6

3 4 5 63=

= + + + ii

A A A A A ^}A A4 A A

?

$Ai ?}6

34

=

= + + + =i

K K K K K K

'[?} ( )63

4 8=

= + + + = =i

- La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 3 ... 1 3 ...=

= + + + + = + + + +n

iKi K K K K n K n

*K} ( ) ( ) ( ) ( ) ( )51

1 3 4 5 4 6 8 10 30=

= + + + + = + + + + =i

i

^`} ( ) ( )51

1 3 4 5 15 30=

= + + + + = =i

i

- La sumatoria de dos o ms variables, entre parntesis es igual a la suma de las sumatorias de cada una de las variables ley distributiva :

( ) ( ) ( )1 1 1 11

...=

+ + = + + + + + +n

i ii

X Y Z X Y Z X Y Z

^ ( )11 1 1 1= = = =

+ + = + + n n n n

i i i i ii i i i

X Y Z X Y Z

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Frmulas especiales sobre sumatorias*`_especialesknW?

+n?&

a) ( )

1

1=

+=

n

i

n ni

*K}10

11 3 4 5 6 8 9 10 56

=

= + + + + + + + + + =i

i( ) ( )10

1

10 10 1 10 11 110 55=

+= = = =

ii

( )( )1

1 16=

+ +=

n

i

n n ni

*K}

10

11 3 4 5 6 8 9 10 385

=

= + + + + + + + + + =i

i

( )( ) ( )10

1

10 10 1 0 1 110 1385

6 6=+ +

= = =i

i

c) ( )31

1=

+ =

n

i

n ni ii

3

1

5 5 5 1 30 15 5= =

+

=

= =

( )

PRODUCTORIA

^$+W?k

producto de??>?k?>K+`#_+k[&'#}

jj= = =

1

51 3 4 5 1 0

3

11 3 1 4 9 36

=

= = =i

i3

11 3 36

=

= =j

j

41 3 4

1== i

iX X X X X

"$##>&

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CAPTULO 3. SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS 37

Propie a es e la pro uctoria?>-

&

- La productoria de una constante es igual a una potencia, donde la base es la constante y el exponente es el lmite superior del producto.

^ rminos

Producto de los trminosProductoria

1=

n

ii i "#_k

n "k

Trminos para recordarSumatoria Sigma Productoria pi

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& !

a) 6

3=i

i c) d)

e) f) g) [

i) K k)

& *`}

a) c) X X4 X X d) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 5 6 + + + = X X X Xe) f)

& `}

a) c) d)

^ 4

a acin de ta as c ad s

Capt

uloCa

ptulo

a acin de ta as c ad sObjetivos

Contenido

44

CARACTERES

Se vio en los captulos anteriores, que la estadstica es un conjunto de tcnicas o mtodos que permiten la observacin, recopilacin, ordenacin, descripcin, y an lisis de un fenmeno. La elaboracin de tablas o cuadros, facilita el an lisis y la presentacin de la informacin.

??k?caractereso caractersticask?Kde lo observado. Las caractersticas de un fenmeno pueden ser: cualitativasy cuantitativas.

Las caractersticas cualitativas, denominadas tambin atributos, son todas aquellas que se puedan describir mediante palabras. Por ejemplo: las ventas, (envalor o cantidad?sucursales (Tabla 4.1), por das, meses, etc. &


las caractersticas cualitativas son: los nombres de las sucursales, los das, meses, cargos, marcas, puertos, departamentos, etc.

Las caractersticas cuantitativas, denominadas tambin variables, son aquellas sus-ceptibles de ser expresadas numricamente." sueldos o tiempo de servicios los di metros de los tornillos producidos por una f brica el nmero de viajes, en el mes, reali ado por buses de servicio pblico (Tablas 4. ) el nmero de sucursales por volumen de ventas&

CAPTULO 4. ELABORACIN DE TABLAS O CUADROS 41

Tabla .2 Tabla .2a

!" !!

No. VIA ES No. VENTAS No.MENSUALES VEHCULOS (Millones ) ALMACENES

& & &

Total Total

"&+&K&k[?WK[[[#W?#-$k&"&discreta ya que no se puede fraccionar el nmero de viajes. En la Tabla 4. a se presenta la variable continua, que s admite fracciones, como centavos.

$#en la investigacin, se dice que la variable o el atributo corresponden a una distribucin unidimensional. Ejemplos de distribuciones unidimensionales en las Tablas 4.3 y 4.3a

Tabla .3 Tabla .3a

"

! #

MARCA CANTIDADNo. DE ARTCULOS

No. DE CA AS DEFECTUOSOS

"+ %

+ K &

Total & Total 35

K??+un atributo, se trata de distribuciones bidimensionales.

&+&K?-li ando en su elaboracin atributos y variables.

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*#?[distribucin pluridimensional o multidimensional


Las series cronolgicas son distribuciones bidimensionales, donde la primera variable corresponde al tiempo: aos, trimestres, meses, semanas, o das. Puede verse en la Tabla &K


del cuadro en tal forma que el lector se entere de inmediato sobre su contenido otros son partidarios de colocarlo debajo.

- El encabezamiento de un cuadro contiene los ttulos y subttulos de las columnas. Losttulos y subttulos deben diferenciarse en su tipologa.En el encabezamiento del cuadro se puede colocar una columna para totales, que puede

??$k[&>totales pueden ubicarse en la parte inferior del cuadro, pero dentro del mismo. En el

$[&

- El cuerpo del cuadro corresponde a la parte numrica, informacin o contenido. Si la primera columna del cuadro se utili a para describir una caracterstica cualitativa, los nombres que toma se ubicar n en las diferentes lneas, pudindose usar letras mays-W??[$columna, en caso de que no se tengan los renglones tra ados.

TTULO TTULO MA SCULATOTALEncabe amiento EN MA SCULA ;

FuentePie Llamadas

?&

Se debe tener cuidado con el contenido (cuerpo) del cuadro, ya que si no se conoce la informacin o cantidad, el espacio correspondiente no debe dejarse en blanco o colocar +_&'[?_?[?[&

Se presentan a continuacin algunas convenciones utili adas en algunas publica-&

_ &&& [+_ _

Totales...

T TUL (Qu?, cmo?, dnde?, cu ndo?)

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Estimaciones {_

( - ) Sin movimiento !&

*+K#_#que las utili adas en el interior del cuadro. Por presentacin no se cierra a los lados.

! $ caractersticas. En el caso de que se quiera presentar cifras relativas o porcentuales, no se excluir n del mismo las respectivas frecuencias absolutas.

Pie. Ser utili ado el espacio debajo del cuadro, para dar referencia al origen de ??_&'?`-?#$[_?[la fuente, autor, p gina, etc.

DISTRI UCIN DE FRECUENCIAS

La tabla de frecuencias_que toman las diferentes caractersticas, en tal forma que permitan al lector tener una visin de conjunto, aclarando el texto del informe o complement ndolo. Bajo este prin-+#+cuantitativas, indic ndose el nmero de veces que se repiten.

Atributos

No nos detendremos en la elaboracin de tablas ni en el proceso de an lisis que se sigue en el caso de atributos o de aspectos cualitativos?+kse concentra en el estudio de fenmenos cuantitativos o variables. Solamente se presentar #K&_?indic ndose el nmero de veces que el atributo se repite, que se le denomina frecuencia de ocurrencia. La proporcin, se obtiene dividiendo al nmero de observaciones en cada caso por su total, y se le conoce con el nombre de frecuencia relativa de ocurrencia.

Es importante destacar, en el caso de atributos, que la caracterstica puede ser anali-ada, en parte, mediante el c lculo de ra ones y porcentajes, y, al igual que las variables

#?&

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Tabla .

ariable discretaLa elaboracin de una tabla de frecuencias, la explicaremos mediante un ejemplo:

kK>+&

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^`KWk[__?_[&?

_#+?K

1 6 11 16 1 6

1 1

3 8 13 18 3 8

4 9 14 19 4 9

5 10 15 0 5 30

3 01 3 31 1 3 0 10 1 3 4 13 4 3

x x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x x

= = = = = =

= = = = = =

= = = = = =

= = = = = =

= = = = = =

"_?[?datos sin agrupar o datos originales.

Tabulacin. En este proceso se requiere, en primer lugar, determinar los valores que &&?W_K`?k????&&

En las columnas de tabulacin se muestra dos formas de reali ar el conteo manual, sobre el nmero de veces que se presenta cada valor que toma la variable cada raya co-?[+??kk?[#k_formar grupos de cinco rayas ( ), con lo cual disminuye la posibilidad de error.

_[#kk-[+?#kk?$&?k

$por la frecuencia absoluta, con la posibilidad de agregar otra columna, correspondiente a la frecuencia relativa, la que nos indicar la distribucin porcentual. En el mismo cuadro, K?

kK_?K

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que se obtiene al dividir la frecuencia absoluta (tres) por el tamao de la muestra (treinta), +&

3 100 1030 =

![?k#?prescindiremos de los ttulos que llevan las columnas y lo reempla aremos por smbolos, facilit ndonos de esta manera la explicacin de las diferentes medidas.

La variable discreta la simboli aremos por yi (minscula para la muestra y mayscula para la poblacin), donde el subndice i?[m (nmero de valores que toma la variable). Siendo m 5, se tendr : y1 y y3 y4 y5.

?@*?#'

N MERO DE FIGURAS TA ULACIN N MERO DEDESPERFECTAS 1 . Forma 2 . Forma CA AS

?1 ?

?3 ?

?

Total ?

Tabla .11 Tabla .12

?# >#

yi ni [i Ni Hi yi ni [i Ni Hiy1 n1 [1 N1 H1 ? ?y n [ N H ? ?y3 n3 [3 N3 H3 ? ?y4 n4 [4 N4 H4 ? ?y5 n5 [5 N5 H5 ? ? ? ?

'?frecuencia absoluta se simboli ar por ni, al igual que en yi, donde i toma [m. tras columnas que podr tener la tabla de frecuencias, depen-diendo de la necesidad que se tenga en cada caso particular, son hi (frecuencia relativa),

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Ni (frecuencia absoluta acumulada), Hi (frecuencia relativa acumulada). Los anteriores smbolos se presentan en la Tabla 4.11.

$_&?_?relativas y acumuladas, tal como puede verse en la Tabla 4.1 .

El c lculo de la frecuencia relativa se efecta en la siguiente forma:

Se tendra que:

(se aproxim)

55 0,0 30= = =

nh n (se aproxim, de tal manera que si sumamos las anteriores frecuencias relativas el resultado ser 1).

^&?k_?kK`?_


?&"nios fueron los siguientes:

La mW`?aos, pertenecientes**>&

c) La caracterstica es cualitativa o cuantitativa?

!k>

_ _& m? [ !}y y5 n1 n4 h h5 N N H4 H

Solucina) Ni`??

del barrio el Eden. "_?+c) La caracterstica es cuantitativa (variable).d) La variable est dada por puntos de aceptacin del nuevo sabor

"?$W?

fracciones.f) La tabla de frecuencias ser :

yi ni i i i ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?

*Wk&m[ y 3 y5 n1 3 n4 3 h ? h5? N

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ariable continua K N +

Kn ??en kg de cada caja. La informacin sobre el peso de cada caja, se da en nmeros enteros K?k$_+$?&

Tabla .13>

x1 x x13 x x 5 5x x x14 x xx3 x x15 x 1 xx4 x x x 55 xx5 x11 x x 3 xx x1 x x 4 x

En la elaboracin de la tabla o cuadro de frecuencias, se deben observar los siguientes pasos:

a) Se determina el valor m ximo y mnimo que toma xi: "_k[+`+#rango o recorrido:

x x rango o recorridomax min = ^[W m) que se utili ar para

agrupar los datos:m nmero de intervalos o marcas de clase.Una de las formas de obtener m es aplicando la regla de Sturges, con la cual se obtiene

una aproximacin aceptable sobre el nmero de intervalos necesarios para agruparlos.

m 1 3,3 log n'[_KK?+_

en la Tabla 4.13 se tendr :

m ? m????El nmero de intervalos, de acuerdo a la regla de Sturges?&$-

remos en nuestro ejercicio seis intervalos (m&

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En la pr ctica m_?}estudio, grado de variabilidad de los datos, necesidad de efectuar comparaciones. En todo caso, se recomienda que el valor de m[??+&

d) Una ve determinado el nmero de intervalos, se debe decidir sobre el valor de la amplitud para cada intervalo:

'C, no es necesario que sta sea igual para todos los intervalos, &^ ?y de funcionalidad, se puede considerar el valor de C constante para todos los intervalos. ![_}

en nuestro ejercicio se tendr :

Para facilitar los c lculos se aproximara C?Wsuperior por pequea que sea la fraccin por lo tanto se altera el valor del rango. Si re-cordamos que m _K+?}

[

*?&*-tribuido ojal proporcionalmente, sumando unas unidades al lmite superior y rest ndole #_&"k[incremento se exponen a continuacin.

k#?_[_&

m x - mn Recorrido

86

8 486

= =rango

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,,

Esta es la ra n por la cual se tomar como: y

e) La columna correspondiente a la variable continua se simboli ar por (ambas minsculas para la muestra y maysculas en la poblacin).

lmite inferior del intervalo lmite superior del intervalo

f) La Tabla 4.15 sobre frecuencias se basa en la informacin de la Tabla 4.13 y corres-K`&

Para la elaboracin de los intervalos, se inicia con la determinacin del valor de min

??#_ ,iy )del primer intervalo, luego se procede a agregarle el valor de la amplitud para as obtener el lmite superior ( ,iy ), que ser a su ve el lmite inferior del segundo intervalo, al cual se le agrega nuevamente el valor de C para obtener el lmite superior del segundo intervalo, +#[_&

Tabla .1

;#=$

ni hi Ni Hi yi marcas de clasey y, ,0 1 n1 [1 N1 H1 y1y y, ,1 n [ N H yy y, ,3 n3 [3 N3 H3 y3y y, ,3 4 n4 [4 N4 H4 y4y y, ,4 5 n5 [5 N5 H5 y5y y, ,5 6 n [ N H y ?

i-1 i fi fi n Fi Hi i

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Tabla .1

?#

Tabulacin ni hi Ni Hi yi ? - 54 ? ?

54,1 - ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ?

? -

Se observar tambin que a cada uno de los lmites inferiores de los intervalos se les ??_?#Kx #?+??k[?+&

!kk+k?W+&

__&}

yi-1 - y i?

? ? ? ?

?

Es este caso el valor de xk?&En las tablas de frecuencias (Tablas 4.14 y 4.15) la columna simboli ada por $i se

denomina marca de clase, la cual sirve para facilitar el c lculo de algunas medidas de posicin y de dispersin. El c lculo de estas marcas de clase se puede obtener de tres formas diferentes:

& #}

y y y1 0 1 46 54 50= + = + =, ,

,,

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y y y1 54 6 58= + = + =, ,

y y y3 3 6 0 66= + = + =, ,

. . . .. . . .. . . .

y y y6 5 6 86 94 90= + = + =, ,

& ^?de clase, de acuerdo con el mtodo anterior, luego se le va sumando el valor de la amplitud, tal como se presenta a continuacin:

y y y1 0 1 46 54 50= + = + =, ,

y y C1 50 8 58= + = + =3 58 8 66= + = + =y y C4 3 66 8 4y y C= + = + =

y as sucesivamente.

& >[?intervalo por dos, luego, este resultado se le suma al lmite inferior del respectivo intervalo, o se le resta al lmite superior.

,1 0

846 46 4 502 2Cy y= + = + = + =

y y C1 54 8 54 4 58= + = + = + =,

,3

86 6 4 66Cy y= + = + = + =y as sucesivamente.

Nota. En una variable, ya sea discreta o continua, cuando las frecuencias absolutas y las relativas equidistantes a un valor central son iguales, se dice que la distribucin es simtrica&+&&

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?@D ?@+

yi ni hi y yi i 1, , ni hi ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?+ ?

if if n ? i i 1, , if fi n

"

1. Los siguientes datos, corresponden a una distribucin de frecuencias, de los gastos en ? &![ constante, de la cual se sabe:y1 3,5 ? n1 4 N n3 5Se pide elaborar una tabla de frecuencias.

Solucin:

,0 1

1y C y+ = Reempla ando ,0 0,5 3,5y C+ =, ,0 44y C y+ = Reempla ando ,0 4 8, 5y C+ =

Si al lmite inferior del primer intervalo le sumamos la mitad de C se obtendr la &'[?#C, se obtendr el lmite superior del cuarto intervalo.

^&'[C, mul-tiplicando a la primera ecuacin por -1 y luego se la restamos a la segunda ecuacin:

,

,4 8, 5

0,5 5, 53,5 5, 5

+ =

=

=

oo

y Cy C

C5, 5 1,53,50= =C

i

,4y

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h nnii

h nn1 =1

80,04 n=8 00

0,04n = =

33

nh n=( )3 3h n n=

( )( ) 30, 1 00 n=3 4n =

n n2 5+ = 62 4 6n + =6 4 0n = =

6 0n n= =

3 3

3

3

1. 60(4 ) 1. 60

1. 60 304

=

=

= =

y nyy

, ,

, ,

yi ni Ni hi Hi? - ? ? ? ?

4, 5 - ? ? ? ?? - ? ? ? ?? - ? ? ? ?

?

&?_kdistribucin es simtrica.m


_ #_

y +1y3+ y3+4y4+5

as sucesivamente.

[ #, ,0 1 5 10 15y C y+ = = + =

(lmite superior del primer intervalo), ,1 15 10 5y C y+ = = + =

(lmite superior del segundo intervalo)

PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS

- Las frecuencias absolutas son nmeros enteros.- La suma de las frecuencias absolutas es igual al tamao de la muestra (n) o al de la

poblacin (N):n n n n n ni mi

m= + + + + =

=

1 31

... n niim

==1

bservando la Tabla 4.1 se tendr que:5

1 3 4 51

iin n n n n n n

=

= + + + + =5

13 6 1 30ii

n=

= + + + + =- Las frecuencias relativas son nmeros fraccionarios: [i

- La suma de las frecuencias relativas es igual a 1:

h h h h hi mim

= + + + += 1 3

1...

&k[i es igual a 1:

51 3 4 5

11 0,10 0, 0 0, 40 0, 3 0,0 1ii

h h h h h h=

= + + + + = = + + + + =

(lmite inferior del primer intervalo),1 0 5 15

Cy y= = =(lmite inferior del segundo intervalo)

,0 1 10 5 5

Cy y= = =

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- El ltimo trmino de las frecuencias absolutas acumuladas es igual a n:Nm n N5

- El ltimo trmino de las frecuencias relativas acumuladas es igual a 1:

Hm 1 H5 1

RESUMEN DEL CAPTULO

La observacin de los hechos no tendra importancia si los datos recogidos no se &

observacin se requiere determinar la caracterstica, si es cualitativa o cuantitativa la primera se denomina atributo y la segunda variable. La variable puede ser discreta o continua.La variable discreta admite nicamente valores enteros y la continua considera va-lores fraccionarios.Las columnas de las tablas o cuadros utilizados en los clculos estadsticos, se iden-

De acuerdo con el nmero de atributos o variables que tenga un cuadro, se dice que corresponde a una distribucin unidimensional, bidimensional o pluridimensional.

?F

& _?W}

*KkWk_-cuencias no debe ser menor de 1 .

b) Para calcular la marca de clase, se suma el lmite inferior del intervalo al lmite superior y se divide por dos.

[+_+&

AtributosAmplitudCaractersticasCaractersticas cualitativas Caractersticas cuantitativasDistribucin de frecuenciasDistribucin unidimensional

Distribucin bidimensionalDistribucin multidimensionalFrecuencias relativasFrecuencias acumuladasIntervaloLmite superior del intervaloLmite inferior del intervalo

Marcas de claseango o recorridoegla de Sturges

Tablas de frecuenciasariablesariables discretasariables continuas

_ W

"

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!_}modo de facilitar el entendimiento de la naturale a de la distribucin y el presentar los datos en una forma conveniente para su uso posterior.

e) El nmero de accidentes de trabajo segn las causas es un caso de variable discreta.f) La suma de las frecuencias absolutas es igual a uno.g) H5? H4? h5?[ ^H?+H4??ky y

mayor que y4.i) H5? N4 n5 nj) m h1? h4? H3 H4? H ?k) H4? H5? h5?l) h ? n n1&m) El valor de m se puede obtener aplicando la frmula m 3,3 log n.

. Sealar la respuesta correcta, en cada caso.

&'_}a) Se pierde siempre algn dato debido a la condensacin de la informacin.b) Se conserva la identidad de cada dato.c) Se conservan siempre los datos detallados en la distribucin.d) Se pierde la informacin, de cada valor observado.

. El punto medio del intervalo de una distribucin de frecuencias debe escogerse en forma tal que: &b) Represente el valor alrededor del cual tienden a concentrarse los distintos valores

que se incluyen en el intervalo.c) No arroje duda sobre el resto de la distribucin.d) Ninguna de las anteriores respuestas.

& *K_kW#k-[#>?}

Tomando como variable das de incapacidad (enteros) elaborar una tabla de frecuencias y determinar el valor de:

x 1 y4 n3 N4 h5 H m

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& ^kK_#

_+}

Se pide elaborar una tabla de frecuencias para esta variable continua.

& ^$*|[clase media, para conocer la clase de aceite o manteca usada en la cocina, los resultados }#$?[


& ^W^?o intervalos se obtendran para una k}-??&?&&

&* 5 seale con un crculo la respuesta correcta.

&'_-cias de un conjunto de datos, el nmero de clases o intervalos depende:a. El nmero de datosb El alcance de los datos

recolectadosc. El tamao de la poblacind. Lo incisos a y b pero no ce. Ninguna de las anteriores

&?k>intervalos (o clases) tienden a utili ar los especialistas en estadstica cuando organi an datos?a. Menos cincob. Entre uno y cinco& %&*+e. Ninguna de las anteriores

13.Una distribucin de frecuencias relativas representa las frecuencias en trminos de:a. Fraccionesb. Nmeros enterosc. Porcentajesd. Todos los incisos anteriorese. Los incisos a y c

14.En la elaboracin de una distribucin de frecuencias, la frmula de Sturges se usa para:& !&!

intervalos

& !Wd. Las frecuencias relativase. Ninguna

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