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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERA MECNICA ENERGA DEPARTAMENTO ACADMICO DE INGENIERA MECNICA

Curso: Dinmica (M 4119) Periodo Acadmico 2014-B

Dinmica de Sistemas de Partculas

asta el momento nuestro estudio de la Dinmica se ha concentrado en una sola partcula, introduciendo tres mtodos de solucin de problemas de movimiento. A continuacin extenderemos dichos mtodos a los casos que contienen dos o ms partculas.

Clases de sistemas de partculas:

a) Sistemas de partculas deformables.- Son los sistemas formados por un nmero n

finito de partculas encerrados en una regin del espacio, los mismos que al desplazarse no conservan la distancia entre ellas.

Ejemplo: Los gases de escape de un auto o de las turbinas de un avin. Las ondas de radio o de televisin.

b) Sistemas de partculas indeformables.- En este caso, la distancia entre las partculas

del sistema nunca se altera. Todos los cuerpos rgidos son claros ejemplos de estos sistemas.

A su vez, estos sistemas pueden clasificarse en:

b.1. Sistemas discretos o dispersos.- Son aquellos cuya representacin est definida

porque la distancia entre sus partculas es apreciable, pero finita.

b.2. Sistemas continuos.- Son aquellos cuya representacin est definida porque la distancia entre sus partculas es prcticamente nula (hipotticamente no hay intersticios entre ellas).

H

Fig. 1. Los pasajeros de las sillas voladoras sin duda constituyen un sistema de partculas, cuyo comportamiento fsico puede evaluarse con la teora expuesta a continuacin.

Fig. 2. Los molinos de viento con-vierten la energa de las partculas de viento (sistema de partculas) en energa elctrica.

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Movimiento del Centro de Masa de un Sistema de Partculas En la figura 3 se observa que la i-sima partcula del sistema se sita a la posicin:

kzjyixr iiiirrrr ++=

As entonces, siendo M la masa total del sistema, la misma que es constante, la posicin de su centro de masa CM vendr dada por el vector:

=

=

n

iiirmM

r1

CM1 rr

(1)

As, la posicin de cada componente de CM ser:

=

=

n

iii xmM

x1

CM1

(2)

=

=

n

iii ymM

y1

CM1

(3) =

=

n

iii zmM

z1

CM1

(4)

Derivando (1) con respecto al tiempo, y como las masas son constantes, obtendremos la velocidad del centro de masa.

=

=

n

iiirmM

r1

CM1

&r

&r

=

=

n

iiivmM

v1

CM1 rr

(5)

Y derivando (5) con respecto al tiempo obtendremos la aceleracin del centro de masa.

=

=

n

iiivmM

v1

CM1

&r

&r

=

=

n

iiiamM

a1

CM1 rr

(6)

Fuerzas Internas y Externas en un Sistema de Partculas En la figura 4 se tiene el diagrama cuerpo libre de un sistema cerrado1 de n partculas, marcadas con

1, 2, 3, .., n. Los vectores , i = 1, 2, ., n repre-sentan la fuerza externa resultante que acta sobre la i-sima partcula, incluyendo su peso. Las fuerzas externas son causadas por interaccin de las part-culas con el medio externo; adems de ellas, las partculas tambin pueden estar sometidas a la accin de fuerzas internas del sistema. Por ejemplo, dos partculas podran estar unidas por un resorte, chocar entre s o llevar cargas elctricas que hagan que se atraigan o repelan entre s.

1 Sistema en el cual no entran ni salen partculas del sistema.

M

CM

Fig. 3. Sistema de n partculas. A partir del esquema propuesto se puede definir la posicin de su centro de masa (G).

Fig. 4. Diagrama de cuerpo libre de un sistema cerrado de partculas.

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En verdad no es necesario mostrar dichas fuerzas en el DCL de la fig. 4, ya que las interacciones siempre ocurren como pares de fuerzas iguales en magnitud, opuestas en direccin, y son colineales (3ra Ley de Newton). Por lo tanto, las fuerzas internas se cancelan, pero el movimiento de una partcula individual est determinado por las fuerzas externas e internas.

En la figura 5 se ilustra el par de fuerzas internas que acta entre la i-sima y j-sima partculas. La fuerza fij representa la fuerza interna que acta sobre la i-sima partcula causada por la j-sima partcula. Anlogamente, fji representa la fuerza interna que acta sobre la j-sima partcula causada por la i-sima partcula. Segn la 3ra Ley de Newton:

(7) As entonces, el DCL de una sola partcula ser el que se muestra en la figura 6, siendo el vector:

=

n

ijj

ijf1

r

la fuerza resultante sobre la partcula por accin de las dems partculas del sistema. Sobre ella se aplicar la Segunda Ley de Newton.

Ecuacin de movimiento del Centro de Masa

),....,2,1(1

niamfF iin

ijj

iji ==+=

rrr (8)

Como hay n partculas en el sistema, la ecuacin anterior representa n ecuaciones. Al sumar las n ecuaciones, se obtiene:

==

==

=+n

iii

n

i

n

ijj

ij

n

ii amfF

11 11

rrr (9)

La ecuacin anterior es simplificable, considerando lo siguiente:

1. RFn

ii

rr=

=1 es la fuerza externa resultante que acta sobre el sistema, incluyendo el peso

de las partculas. 2. Segn la relacin (7), las fuerzas internas se presentan en pares iguales y opuestos,

por lo cual su suma se cancela, sto es:

01

rr=

=

n

ijj

ijf (10)

En otras palabras, el efecto de las fuerzas internas no altera el fenmeno que tiene lugar en el sistema de partculas.

Fig. 5. Fuerzas internas entre dos partculas de un sistemacerrado.

Fig. 6. DCL final de una partcula de un sistema cerrado.

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Fig. 7. En el esquema, la masa mi ser base para de-terminar la energa cintica del sistema de partculas.

3. Utilizando la ecuacin (6), el segundo miembro se puede sustituir con:

CMaMamn

i

ii

rr=

=1 (11)

Con los resultados anteriores, la ecuacin (9) se puede escribir como: CMaMRrr

= (12)

Al comparar la ecuacin anterior con la Segunda Ley de Newton para una partcula, se ve que el centro de masa del sistema de partculas se mueve como si fuera una partcula de masa igual a la masa total del sistema, sobre la que acta la resultante de las fuerzas externas que actan sobre el sistema. Energa Cintica de un Sistema de Partculas Considerando un vector trazado desde el centro de masa del sistema, se podr hallar su energa cintica respecto a dicho punto.

=

=

n

iiivmT

1

2

21

(13)

Con respecto al centro de masa, es cierto que: ii rr +=

rrrCM . Asimismo:

2

Al reemplazar en (13) se tiene:

===

+

+=

n

ii

n

iii

n

ii mmdt

drrmT

1

2CM

1CM

1

2CM 2

1.

21 &r&r&

El primer trmino del segundo miembro se puede expresar como:

2CM

1

2CM

1

2CM 2

121

21 Mvmrrm

n

ii

n

ii ==

==

&&

El segundo trmino es cero, ya que la posicin del centro de masa respecto a s mismo es 0.

01

==

n

i

iim r

Finalmente, la energa cintica del sistema de partculas queda expresada del siguiente modo:

=

+=n

iiimMvT

1

22CM 2

121 & (14)

Es decir, T es la suma de la energa cintica del sistema cuando sta tiene una velocidad igual a la del centro de masa, mas la energa cintica del sistema medida con respecto al centro de masa.

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Fig. 8. Sistema de partculas en la que a cada partcula se halla sometida a fuerzas impulsivas.

Teorema del Trabajo y la Energa Mecnica para un Sistema de Partculas Sabemos que para una partcula, este teorema tiene la siguiente forma:

eg VVTWW ++=+n.ccons

(15)

Donde: ==

==+n

iii

n

ii rdFWWW

1

despus

antes1n.ccons

.

rr

As entonces, para un sistema de partculas indeformable, se deber sumar todos los cambios de energa que tendrn lugar, as como los trabajos que realicen las fuerzas conservativas y no conservativas sobre cada partcula. Por lo tanto, la relacin anterior ser vlida para el sistema de partculas que se tenga. Si el primer miembro de la relacin (15) fuera igual a cero, entonces se concluir que la energa del sistema de partculas se conserva. Luego, el Principio de Conservacin de la Energa Mecnica para un sistema de partculas ser:

!" 0 (16)

O tambin: ge&'()' ge+,-' (17) Impulso y Cantidad de Movimiento para un Sistema de Partculas En la fig. 8 se puede apreciar que sobre la partcula i acta la fuerza externa Fi y las

fuerzas internas =

n

ijj

ijf1

r.

Podemos escribir el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento del siguiente modo:

121

)()(2

1

2

1

iiii

n

ijj

t

t

ij

t

t

i vmvmdtfdtF rrrr

=+=

La ecuacin anterior escrita para las n partculas del sistema ser:

==

=

=

==

=+n

iii

n

iii

n

i

n

ijj

t

t

ij

n

i

t

t

i vmvmdtfdtF1

11

2

contrario.sentido dey igualesson

pares,en aparecen internasfuerzas las porque 0,

1 11)()(

2

1

2

1

rr

43421

rr

Por lo tanto, la ecuacin anterior queda descrita del siguiente modo:

43421

r

43421

rr

rrantesdespus

2

1 11

12

1)()(

p

n

iii

p

n

iii

n

i

t

t

i vmvmdtF ===

= (18)

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Fig. 9. Debido a que el bloque concreto es un sistema de partculas sin momento lineal inicial, el momento lineal posterior es igual a la suma de los impulsos externos que actan en el sistema.

Siendo los trminos del segundo miembro la cantidad de movimiento del sistema de partculas en los instantes t2 (despus) y t1 (antes), y el primer miembro es el impulso recibido por el sistema entre dichos instantes. As entonces, al emplear la relacin (5), la ecuacin (18) se expresar del siguiente modo:

( ) ( )[ ]1CM2CM1

2

1

vvMdtFn

i

t

t

irrr

==

(19)

Principio de Conservacin de la Cantidad de Movimiento de un Sistema de Partculas Si en un sistema de partculas no actuasen fuerzas

externas, entonces 01

2

1

==

n

i

t

t

idtFr

. Luego, la frmula (19)

se reduce a la siguiente expresin:

.&'()' .+,-' (20) : /012342 /56712 (21) Es decir, la cantidad de movimiento del sistema se conserva entre los instantes t1 y t2. En otras palabras: La velocidad del centro de masa no se altera. Asimismo, en base a la frase anterior: constante. Luego:

( ) ( )antesCMdespusCM vv

rr=

( ) ( )dt

rddt

rdantesCMdespusCM

rr

= ( ) ( )antesCMdespusCM rr rr = (22) En otras palabras: La posicin relativa del centro de masa no se altera. Ver el caso siguiente:

Fig. 10. Proyectil en explosin en el aire. El centro de masa de las partes debe estar necesariamente en la trayectoria del centro de masa ntegro.

EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM

Bellavista, 16 de octubre del 2014