REALIZA: Cárdenas Vázquez Diana Cristina

Cuenca, 13 de Abril de 2015

MÉTODOS PARA POYECCIONES POBLACIONALES

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MÉTODO ARITMÉTICOMÉTODO GEOMÉTRICOMÉTODO POR MÍNIMOS CUADRADOS

INTRODUCCION:

Todo el desarrollo de la humanidad tiene un parámetro determinante en su proceso, ya sea desarrollo tecnológico, desarrollo en obras civiles, o como es de nuestra competencia el avance en términos de sistemas de abastecimiento de agua. Este parámetro determinante mencionado es uno de los más importantes problemas que tienen los países, y es enfrentar en crecimiento poblacional.

El objetivo principal de este trabajo es aplicar los diversos métodos para la determinación de proyecciones poblacionales, requisito indispensable para el diseño de cualquier obra civil ya que marca la vida útil para la cual servirá dicho proyecto.

GENERALIDADES:

Cantón Babahoyo: Capital de la provincia de Los Ríos. Región Litoral del Ecuador, con temperaturas promedio de 24°C . Se encuentra rodeada de ríos como el río Babahoyo y Caracol, y en la derecha el río San Pablo. Hasta el censo de 2010 tiene una población de 153.776 habitantes, gran parte de su población se encuentra en el casco urbano y las zonas rurales se sitúan más alrededor de la carretera Babahoyo – Quito, ya sea por facilidad de traslado y también por sitio estratégico de generación de trabajo, principalmente se da el comercio debido a la agricultura de alta escala y a sus cultivos de alta calidad.

Parroquia Checa: está ubicada al norte del cantón Cuenca a 12 Km. de distancia. Limita al Norte con la provincia de Cañar, al Sur por la parroquia Chiquintad, al Este con la parroquia Octavio Cordero Palacios y Sidcay, al Oeste con la parroquia Chiquintad del cantón Cuenca.

DESCRIPCIÓN DE LOS MÉTODOS DE PROYECCIÓN:

Método Aritmético:

Este método asume que la evolución anual de la población es constante, en un área o región específica. Por ellos su incremente se basa en una razón de incremento anual, obtenida así:

r=Pn−P0n

Donde,

P0 , Población en un tiempo inicial o 0.

Pn , Población n años después.

n , Número de años.

Entonces tenemos que:

P=P0+r∗t

Método Geométrico:

Este método asume un porcentaje constante de cambio por unidad de tiempo. Por tanto, si la población en el tiempo n ha aumentado a Pn, entonces:

Pn=P0 (1+r )n

Donde,

r , Es la tasa geométrica, obtenida de la siguiente manera:

r=ln (P2)−ln (P1 )

t 2−t 1

Método de Mínimos Cuadrados.

Este procedimiento consiste en calcular la población de proyecto a partir de un ajuste de los resultados de los censos anteriores, a una recta o curva, de tal modo que los puntos pertenecientes a éstas, difieran lo menos posible de los datos observados.

Se debe analizar el mejor método de ajuste, ya sea lineal, parabólico, etc. Según experiencia de diversos organismos oficiales dedicados a estudios demográficos, la parábola cuadrada es la que mejor se adapta a los valores del ritmo medio de crecimiento y a la velocidad del mismo ritmo.

La parábola de aproximación de mínimos cuadrados de una serie de puntos (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) ,…,(xn , yn) tiene la ecuación:

a0+a1 x+a2 x2= y

La determinación de los valores de la constes a0 , a1 , a2 es el objetivo de este método, que tiene como principio que la suma de los cuadrados de los errores sea mínima.

e=(a0+a1 x+a2 x2 )− y

Donde,

e=error .

a0+a1 x+a2 x2=valor de laordenadade la curvade ajuste

y=valor real observado

La minimización de los errores matemáticamente queda expresada:

s=(a0+a1 x1+a2 x12− y1 )2+(a0+a1 x2+a2 x22− y2)

2+…+(a0+a1 xn+a2 xn2− yn )

2

El valor s será mínimo cuando sus derivadas parciales con respecto a ao , a1 y a2 sean igual a cero.

Luego de derivar y agrupar términos obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Luego de resolver el sistema queda definida la ecuación de la parábola de ajuste.

Existe un parámetro que sirve para determinar qué tan acertada fue la elección de la curva o recta de ajuste a los datos de los censos. Este se denomina coeficiente de correlación “r”, su rango de variación es de -1 a +1 y conforme su valor absoluto se acerque más a 1 el ajuste del modelo a los datos será mejor.

r2=desviacion totalde variables estimadasdesviacióntotal de variablesreales

r2=∑ ( yestimado− y¿)2

∑ ( yreal− y¿)2¿

¿

APLICACIÓN Y RESULTADOS PARA LOS CASOS ESPECIFICADOS:CANTÓN BABAHOYO:

DATOSAÑO BABAHOYO

1950 370831962 570711974 885151982 1066281990 1054712001 1328242010 153776

Fuente: INEC (2010) Censo de Población y de Vivienda 2010

Método Aritmético:

Con las fórmulas citadas con anterioridad, se ha obtenido:1. Una taza de crecimiento poblacional de:

1945 personas / añoObteniendo las siguientes proyecciones:

2011 1557212015 1635002020 1732252025 1829492030 192674

2035 1926742. Gráficamente la proyección se puede apreciar, así:

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 20400

50000

100000

150000

200000

250000

Proyección de la Población de Babahoyo

Valores censalesValores Proyectados

Método Geométrico:

Se ha obtenido una tasa de crecimiento geométrico de 0.023, proyectando con la fórmula:

2011 1562792015 1667032020 1807172025 1959092030 2123792035 230232

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 20400

50000

100000

150000

200000

250000

300000

Proyección de la Población de Babahoyo

Valores censalesValores Proyectados

Método de Mínimos Cuadrados:

Con los datos obtenidos, haciendo los datos de años en el eje de las x y los valores de población en el eje de la y, se ha obtenido el siguiente sistema de ecuaciones:

a0 a1 a2 y7 13869 27481145 681368

13869 274811455445866672

1 1355108332

274811455445866672

1 1.0793E+142.69526E+1

2

Resolviendo:

a2=-

1.93621994a1= 9570.24227a0= -11262683

Con lo que la ecuación parabólica de ajuste quedaría de la siguiente manera:

y=−11232383+9570 x+1.93 x2

Resolviendo para los mismos años que se han proyectado en los métodos anteriores, se obtiene:

2011 1527662015 1598672020 1686552025 1773462030 1859402035 194438

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 20400

50000

100000

150000

200000

250000

Proyección de la Población de Babahoyo

Valores censalesValores Proyectados

Se ha determinado el parámetro de correlación del ajuste con la fórmula definida en la explicación del método.

Obteniendo un ajuste muy eficiente, con un valor de r2=0.982

PARROQUIA CHECA:

Con los mismos procedimientos anteriores, se presentarán solamente los resultados

DATOSAÑO POBLACIÓN

1990 33262001 26982010 2741

Método Aritmético:

r= 5 personas / año, tomando en cuenta los dos últimos valores, ya que el primero indica una taza decreciente de crecimiento poblacional.

2011 27462015 27652020 27892025 28132030 28372035 2860

2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 20401000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

Proyección de la Población de Checa

Valores censalesValores Proyectados

Método Geométrico:

Se ha obtenido una taza de crecimiento geométrico de:r=0.0018

2011 27462015 27652020 27902025 28142030 28392035 2864

2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 20401000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

Proyección de la Población de Checa

Valores censalesValores Proyectados

Método de Mínimos Cuadrados:

Sistema de ecuaciones obtenido:

a0 a1 a2 y3 6001 12004201 8765

6001 120042012401320600

1 17526848

120042012401320600

14.80368E+1

33504800139

8

Resolución:

a2= 3.09343434a1= -12402.9874a0= 12434961.5

Ecuación de la curva parabólica de ajuste:y=12434961.5−12402.98 x+3.09x2

Obteniendo los siguientes valores proyectados:

2011 27772015 29812020 33772025 39262030 46312035 5490

Este ajuste se ha visto eficiente ya que el coeficiente de correlación determinado es igual a 1.

2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 20400

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Proyección de la Población de Checa

Valores censalesValores Proyectados

Nota:

Los valores censales presentan un decrecimiento en sus primeros datos, esto se piensa es debido a la migración alta del sector que se dio entre los años 1990 y 2000, tiempo de dolarización del estado ecuatoriano.

ANÁLISIS DE RESULTAOS:

Para el cantón Babahoyo se resumen los resultados en el siguiente cuadro:

Año Mínimos

Cuadrados Aritmético Geométrico

2011 152766 155721 1562792015 159867 163500 1667032020 168655 173225 1807172025 177346 182949 1959092030 185940 192674 2123792035 194438 192674 230232

2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040100000

120000

140000

160000

180000

200000

220000

240000

Mínimos Cuadrados

Aritmético

Geométrico

Se observa que los ajustes más próximos son los del método de mínimos cuadrados y el método aritmético.

La eficiencia de los métodos puede darse, primero para el de mínimos cuadrados por el coeficiente de correlación muy cercano al valor de uno que nos indica que la aproximación es muy buena, y del método aritmético ya que no se observan cambios drásticos en la evolución de la población ni tazas decreciente del crecimiento de la misma.

Se observa que en el método geométrico el crecimiento se ve mucho más elevado y con un margen de error mucho más grande.

Para la parroquia Checa:

Año Mínimos

Cuadrados Aritmético Geométrico

2011 2777 2746 27462015 2981 2765 27652020 3377 2789 27902025 3926 2813 28142030 4631 2837 28392035 5490 2860 2864

2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 20401000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

Mínimos Cuadrados

Aritmético

Geométrico

En este caso se puede ver un error muy grande con la proyección por mínimos cuadrados, pudiendo deducirlo de la escasez de datos censales que se presentan para esta parroquia, ya que este método se basa en minimizar los errores y mientras más valores se tengan la aproximación será mejor.

Se considera desechable esta aproximación para este caso.

Mientas que las proyecciones geométricas y aritméticas se ven con la misma tendencia, esto debido a la simplicidad de su linealidad.

CONCLUSIONES:

- Una de las desventajas del método de mínimos cuadrados ajustado a una curva parabólica es su tendencia a ascender o descender rápidamente cuando la extrapolación corresponde a largos tramos. Por lo que se recomienda evitarlos para evitar confusiones con posibles resultados negativos debidos a la geometría de la ecuación de una parábola de orden 2.

- El método aritmético ofrece proyecciones lógicas incluso cuando la tasa de crecimiento es decreciente, como en el caso del primer valor de la parroquia de Checa. Pero esto solamente se da cuando las proyecciones no son hechas para períodos mayores a 5 años, ya que el error de estimación es directamente proporcional a la cantidad de tiempo.

- La tasa del método geométrico se ha podido mostrar que no es adecuada para períodos largos de tiempo.

- El error de estimación del método geométrico aumenta cuando la tasa de crecimiento se presenta decreciente, o en casos que la densidad poblacional en una región dada es tan alta que es de esperarse una tasa de este tipo en un largo plazo.

- Cuando los períodos de tiempo a estimar la población son cortos, se recomienda emplear la tasa del método geométrico.

BIBLIOGRAFÍA:

- Modelos Matemáticos Elementales en Proyecciones de Población, Opsina B. David, Revista Colombiana de Estadística, #3-1981

- https://davidrogelio.wordpress.com/ingenieria-sanitaria-3/apuntes-ap/ - http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/4281/Capitulo4.pdf - http://www.los-rios.gob.ec/documentos/PDOT2012/6sistemasociocultural.pdf - http://www.ecuadorencifras.gob.ec/ - http://www.checa.com.ec/AdministracionArticulos/mostrarArticulo.php?

codigo_articulo=10- http://es.wikipedia.org/wiki/Cant%C3%B3n_Cuenca